Question

4．圓心為M（m，0）（m∈Z），半徑為5的圓與直線4x+3y-29=0相切．
（1）求圓M的方程；
（2）若直線l₁：ax-y+5=0與圓M相交于A、B兩點，是否存在實數(shù)a，c，使直線l₂：4x+3y+c=0垂直平分弦AB？若存在，求直線l₁、l₂的方程；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）利用，圓心到直線的距離d=$\frac{|4m-29|}{\sqrt{16+9}}$=5，求出m，即可求出圓M的方程；
（2）把直線y=ax+5代入圓M的方程d得到關(guān)于x的一元二次方程，利用交點個數(shù)與判別式的關(guān)系得到a的范圍，利用直線l₂：4x+3y+c=0垂直平分弦AB，得出結(jié)論．

解答 解：（1）由題意，圓心到直線的距離d=$\frac{|4m-29|}{\sqrt{16+9}}$=5，
∵m∈Z，∴m=1，
∴圓M的方程為（x-1）²+y²=25；
（2）把直線y=ax+5．代入圓M的方程，
消去y，整理得（a²+1）x²+2（5a-1）x+1=0．
由于直線l₁：ax-y+5=0交圓C于A，B兩點，
故△=4（5a-1）²-4（a²+1）＞0，
解得a＜0或a＞$\frac{5}{12}$
由k_AB=$\frac{3}{4}$=a$＞\frac{5}{12}$，符合條件
由于l₂垂直平分弦AB，故圓心C（1，0）必在l₂上，∴c=-4．
故存在實數(shù)a=$\frac{3}{4}$，c=-4，使得直線l₂：4x+3y+c=0垂直平分弦AB．

點評 本題考查了圓的方程的求法以及直線與圓的位置關(guān)系的判斷，屬于中檔題．