Question

7．拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$=-12求拋物線的解析式．

Answer 1

分析 求出拋物線的焦點(diǎn)，分情況討論：當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$的值；當(dāng)直線l不垂直于x軸時(shí)，再設(shè)出直線方程，把直線與拋物線方程聯(lián)立，得到A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)和斜率之間的關(guān)系，再代入$\overrightarrow{OA}$$•\overrightarrow{OB}$，計(jì)算即可得到結(jié)論，再由條件解方程可得p的值，進(jìn)而得到所求拋物線的方程．

解答 解：拋物線y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（$\frac{p}{2}$，0），
若直線l垂直于x軸，可設(shè)A（$\frac{p}{2}$，p），B（$\frac{p}{2}$，-p）．
$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=（$\frac{p}{2}$）²-p²=-$\frac{3}{4}$p²．
若直線l不垂直于軸，設(shè)其方程為y=k（x-$\frac{p}{2}$），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由 $\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-\frac{p}{2}）}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$⇒k²x²-p（2+k²）x+$\frac{{p}^{2}}{4}$•k²=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•p，x₁•x₂=$\frac{{p}^{2}}{4}$．
∴$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=x₁x₂+k²（x₁-$\frac{p}{2}$）（x₂-$\frac{p}{2}$）
=（1+k²）x₁x₂-$\frac{p}{2}$k²（x₁+x₂）+$\frac{{p}^{2}{k}^{2}}{4}$
=（1+k²）$\frac{{p}^{2}}{4}$-$\frac{p}{2}$k²•$\frac{2+{k}^{2}}{{k}^{2}}$•p+$\frac{{p}^{2}{k}^{2}}{4}$=-$\frac{3}{4}$p²．
綜上，$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=-$\frac{3}{4}$p²．
由題意可得-$\frac{3}{4}$p²=-12，
解得p=4，
則拋物線的方程為y²=8x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線和拋物線的位置關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，兩個(gè)向量的數(shù)量積公式的應(yīng)用，求出x₁•x₂ 和y₁•y₂的值，是解題的關(guān)鍵．