Question

18．設(shè)F為雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F的直線分別交兩條漸近線于A，B兩點(diǎn)，OA⊥AB，若2|AB|=|OA|+|OB|，則該雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2
• C． $\frac{\sqrt{5}}{2}$
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 由勾股定理得出直角三角形的2個(gè)直角邊的長度比，聯(lián)想到漸近線的夾角，求出漸近線的斜率，進(jìn)而求出離心率．

解答 解：不妨設(shè)OA的傾斜角為銳角，
∵a＞b＞0，即0＜$\frac{a}$＜1，
∴漸近線l₁的傾斜角為（0，$\frac{π}{4}$），
∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1＜1，
∴1＜e²＜2，
∵2|AB|=|OA|+|OB|，OA⊥AB，
∴|AB|²=|OB|²-|OA|²
=（|OB|-|OA|）（|OB|+|OA|）=2（|OB|-|OA|）•|AB|，
∴|AB|=2（|OB|-|OA|），
∴|OB|-|OA|=$\frac{1}{2}$|AB|，
又|OA|+|OB|=2|AB|，
∴|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，
∴在直角△OAB中，tan∠AOB=$\frac{|AB|}{|OA|}$=$\frac{4}{3}$，
由對(duì)稱性可知：OA的斜率為k=tan（$\frac{1}{2}$∠AOB），
∴$\frac{2k}{1-{k}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，∴2k²+3k-2=0，
∴k=$\frac{1}{2}$（k=-2舍去）；
∴$\frac{a}$=$\frac{1}{2}$，∴$\frac{^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}}{{a}^{2}}$=e²-1=$\frac{1}{4}$，
∴e²=$\frac{5}{4}$，
∴e=$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了雙曲線的簡單性質(zhì)，確定|OA|=$\frac{3}{4}$|AB|，聯(lián)想到對(duì)應(yīng)的是漸近線的夾角的正切值，是解題的關(guān)鍵．