Question

17．已知F是拋物線C：x²=2py，p＞0的焦點，G、H是拋物線C上不同的兩點，且|GF|+|BF|=3，線段GH的中點到x軸的距離為$\frac{5}{4}$，點P（0，4），Q（0，8），曲線D上的點M滿足$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0．
（Ⅰ）求拋物線C和曲線D的方程；
（Ⅱ）是否存在直線l：y=kx+m分別與拋物線C相交于點A，B（A在B的左側）、與曲線D相交于點S，T（S在T的左側），使得△OAT與△OBS的面積相等？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由拋物線定義知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$，即可求出拋物線的方程；
（2）由△OAT與△OBS的面積相等，得AS=TB，可得x₁+x₂=x₄+x₃，即可求實數(shù)m的取值范圍．

解答 解：（1）由拋物線定義知：$\frac{5}{4}$+$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$，得p=$\frac{1}{2}$
故拋物線的方程為x²=y；
設M（x，y），則∵$\overrightarrow{MP}$•$\overrightarrow{MQ}$=0，
∴（-x，4-y）•（-x，8-y）=0，
∴x²+（y-6）²=4，
∴曲線D的方程為x²+（y-6）²=4；
（2）∵△OAT與△OBS的面積相等，
∴AT=BS，
∴AS=TB
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），S（x₃，y₃），T（x₄，y₄），
∴x₁-x₃=x₄-x₂，即x₁+x₂=x₄+x₃，
直線l：y=kx+m代入拋物線方程得：x²-kx-m=0
因為直線l與拋物線于A、B兩點，所以△₁=k²+4km＞0…①
x₁+x₂=k
直線l：y=kx+m代入圓方程得：（1+k²）x²+2（mk-6k）x+m²-12m+32=0
因為直線l與圓于C，D兩點，所以△₂＞0，即[2（mk-6k）]²-4（1+k²）（m²-12m+32）＞0…②…（9分）
x₃+x₄=$\frac{12k-2mk}{1+{k}^{2}}$
因為x₁+x₂=x₄+x₃，所以$\frac{12k-2mk}{1+{k}^{2}}$=k，化簡得k²=11-2m
代入①②得，解得-2＜m＜$\frac{11}{2}$．

點評 本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線、圓的位置關系，考查韋達定理的運用，考查學生分析解決問題的能力，難度大．