Question

7．從某學(xué)校的1600名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，被測(cè)學(xué)生身高全部介于155cm和195cm之間，將測(cè)量結(jié)果按照如下方式分成八組：第一組[155，160），第二組[160，165），…，第八組[190，195]，如圖是按照上述分組方法得到的頻率分布直方圖的一部分，第六組的人數(shù)為4人．
（1）求第七組的頻率；
（2）試估計(jì)該學(xué)校1600名男生中身高在180cm（含180cm）以上的人數(shù)；
（3）若從身高屬于第六組和第八組的所有男生中隨機(jī)抽兩名男生，設(shè)他們的身高分別為x，y，記事件E={（x，y）|（x-y）²≤25}，求事件E的概率．

Answer 1

分析 （1）先求出第六組的頻率，再由頻率分布直方圖中頻率之和為1，求出第七組的頻率．
（2）由直方圖得到后三組的頻率，由此能估計(jì)該校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)．
（3）第六組[180，185）的人數(shù)為4人，第八組[190，195）的人數(shù)為2人，由此利用列舉法能求出事件E的概率．

解答 解：（1）∵從某學(xué)校的1600名男生中隨機(jī)抽取50名測(cè)量身高，第六組的人數(shù)為4人，
∴第六組的頻率為$\frac{4}{50}=0.08$，
∴第七組的頻率為：1-0.08-5×（0.008×2+0.016+0.04×2+0.06）=0.06．…（4分）
（2）由直方圖得到后三組的頻率為0.06+0.08+0.008×5=0.18，
∴估計(jì)該校1600名男生中身高在180cm以上（含180cm）的人數(shù)為0.18×1600=288人．…（8分）
（3）第六組[180，185）的人數(shù)為4人，設(shè)為a，b，c，d，
第八組[190，195）的人數(shù)為2人，設(shè)為A，B，
則有ab，ac，ad，bc，bd，cd，aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB，AB，共15種情況．
∵事件E={（x，y）|（x-y）²≤25}發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)隨機(jī)抽取的兩名男生在同一組，
∴事件E包含的基本事件為ab，ac，ad，bc，bd，cd，AB共7種情況，
故$P（E）=\frac{7}{15}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查概率的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意頻率分布直方圖的性質(zhì)和列舉法的合理運(yùn)用．