Question

設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）•f（1）＞0，求證：
（I） -2＜

b

a

＜-1
（II） 設(shè)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實根，則

3

3

≤|x1-x2|＜

2

3

．

Answer 1

分析：（I）由f（0）f（1）＞0得c（3a+2b+c）＞0，又a+b+c=0可得2a²+3ab+b²＜0，變形為(

b

a

)2+3•

b

a

+2＜0，求解即可．
（II）由韋達定理來構(gòu)造：|x₁-x₂|=

( x 1-x 2 ) 2-4x 1•x 2

=

4 9 ( b a )2+  4 3 • b a + 4 3

，利用（I）的結(jié)論結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可證得結(jié)論．

解答：（I）證明：∵f（0）f（1）＞0，∴c（3a+2b+c）＞0． 又a+b+c=0，即c=-a-b，
所以（-a-b）（2a+b）＞0，即2a²+3ab+b²＜0．
由2a²+3ab+b²＜0知a2≠0，
∴(

b

a

)2+3•

b

a

+2＜0，解得 -2＜

b

a

＜-1．
（II）證明：∵x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個實根，∴x₁+x₂=-

2b

3a

，
x 1•x2 = 

c

3a

 = 

-a-b

3a

=-

1

3

-

1

3

•

b

a

．
故|x₁-x₂|=

( x 1-x 2 ) 2-4x 1•x 2

=

4 9 ( b a )2+  4 3 • b a + 4 3

．
∵-2＜

b

a

＜-1，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得

3

3

＜|x₁-x₂|＜

2

3

．

點評：本題主要考查函數(shù)與方程的綜合運用，主要涉及了函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，構(gòu)造不等式，二次函數(shù)求最值等，屬于中檔題