設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求證:
(1)方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根;
(2)-2<
b
a
<-1;
(3)設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實(shí)數(shù)根,則
3
3
≤|x1-x2|
3
2
分析:(1)根據(jù)已知中a+b+c=0,利用配方法求出二次方程f(x)=0的△>0,即可判斷出方程f(x)=0有實(shí)數(shù)根;
(2)由a+b+c=0,f(0)f(1)>0,我們可構(gòu)造關(guān)于
b
a
的不等式,解不等式可得)-2<
b
a
<-1;
(3)當(dāng)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實(shí)數(shù)根時,根據(jù)韋達(dá)定理我們可以求出,(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2的范圍,開方后可得
3
3
≤|x1-x2|
3
2
解答:解:(1)∵a≠0,a+b+c=0,a+c=-b,
∴△=4b2-12ac=4(a+c)2-12ac=4[
3
4
a2+(
1
2
a-c)2]
>0
f(x)=3ax2+2bx+c=0有實(shí)數(shù)根,--(4分)
(2)由f(0)f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0
∵a+b+c=0,
∴c=-(a+b),
∴-(a+b)•(2a+b)>0,
-a2(1+
b
a
)(2+
b
a
)
>0,
(1+
b
a
)(2+
b
a
)<0

解得-2<
b
a
<-1----------(9分)
(3)∵x1,x2是方程f(x)=0的兩個實(shí)數(shù)根,
x1+x2=-
2b
3a
,x1x2=
c
3a
=-
a+b
3a

(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2
=
4b2
9a2
-4(-
a+b
3a

=
4
9
(
b
a
+
3
2
)2+
1
3

∵-2<
b
a
<-1
1
3
(x1-x2)2
4
9

3
3
≤|x1-x2|
2
3
.--------(15分)
點(diǎn)評:本題考查的知識點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì),方程的根,韋達(dá)定理,是函數(shù)、方程與不等式之間相互關(guān)系的典型例題.
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c.若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:
(Ⅰ)a>0且-2<
ba
<-1
;
(Ⅱ)方程f(x)=0在(0,1)內(nèi)有兩個實(shí)根.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)f(1)>0,求證:
(Ⅰ)方程f(x)=0有實(shí)根.
(Ⅱ)-2<
a
b
<-1;設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實(shí)根,則.
3
3
≤|x1-x2|<
2
3
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c,若a+b+c=0,f(0)>0,f(1)>0,求證:a>0且-2<
ba
<-1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

設(shè)f(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),若a+b+c=0,f(0)•f(1)>0,求證:
(I) -2<
b
a
<-1

(II) 設(shè)x1,x2是方程f(x)=0的兩個實(shí)根,則
3
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≤|x1-x2|<
2
3
闂傚倸鍊搁崐鎼佸磹閹间礁纾归柟闂寸绾惧綊鏌i幋锝呅撻柛銈呭閺屾盯骞橀懠顒夋М闂佹悶鍔嶇换鍐Φ閸曨垰鍐€妞ゆ劦婢€缁墎绱撴担鎻掍壕婵犮垼娉涢鍕崲閸℃稒鐓忛柛顐g箖閸f椽鏌涢敐鍛础缂佽鲸甯¢幃鈺呮濞戞帗鐎伴梻浣告惈閻ジ宕伴弽顓犲祦闁硅揪绠戠粻娑㈡⒒閸喓鈯曟い鏂垮濮婄粯鎷呴崨濠傛殘婵烇絽娲﹀浠嬫晲閻愭潙绶為柟閭﹀劦閿曞倹鐓曢柡鍥ュ妼閻忕姵淇婇锝忚€块柡灞剧洴閳ワ箓骞嬪┑鍥╀壕缂傚倷绀侀鍛崲閹版澘鐓橀柟杈鹃檮閸婄兘鏌ょ喊鍗炲闁告柨鎲$换娑氣偓娑欋缚閻倕霉濠婂簼绨绘い鏇稻缁绘繂顫濋鐔割仧闂備胶绮灙閻忓繑鐟╁畷鎰版倷閻戞ǚ鎷洪柣搴℃贡婵敻濡撮崘鈺€绻嗛柣鎰綑濞搭喗顨ラ悙宸剱妞わ妇澧楅幆鏃堟晲閸ラ搴婇梻鍌欒兌缁垶宕濋敃鍌氱婵炲棙鎸哥粈澶愭煏閸繃顥撳ù婊勭矋閵囧嫰骞樼捄鐩掋垽鏌涘Ο铏规憼妞ゃ劊鍎甸幃娆撳箵閹烘挻顔勯梺鍓х帛閻楃娀寮诲☉妯锋闁告鍋為悘鍫熺箾鐎电ǹ顎岄柛娆忓暙椤繘鎼归崷顓狅紲濠殿喗顨呭Λ娆撴偩閸洘鈷戠紓浣癸供濞堟棃鏌ㄩ弴銊ら偗闁绘侗鍠涚粻娑樷槈濞嗘垵濮搁柣搴$畭閸庡崬螞瀹€鍕婵炲樊浜濋埛鎴︽煕濞戞﹫鍔熺紒鐘虫崌閹顫濋悡搴$睄闂佽桨绀佺粔鐟邦嚕椤曗偓瀹曟帒饪伴崪鍐簥闂傚倷绀侀幖顐ゆ偖椤愶箑纾块柟鎯板Г閸嬧晜绻涘顔荤凹闁绘挻绋戦湁闁挎繂鎳忛幉鎼佸极閸惊鏃堟偐闂堟稐绮跺┑鐐叉▕閸欏啴濡存笟鈧浠嬵敇閻愰潧骞愰梻浣告啞閸旀垿宕濆澶嬪€堕柛顐犲劜閸婄敻鎮峰▎蹇擃仾缂佲偓閸愨斂浜滈柕濞垮劵闊剚顨ラ悙璇ц含鐎殿喕绮欓、姗€鎮欓棃娑樼闂傚倷绀侀幉锟犲礉閹达箑绀夐幖娣妼绾惧綊鏌ㄩ悤鍌涘

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