Question

設(shè)f（x）=3ax²+2bx+c（a≠0），若a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，求證：
（1）方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
（2）-2＜

b

a

＜-1；
（3）設(shè)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則

3

3

≤|x₁-x₂|＜

3

2

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)已知中a+b+c=0，利用配方法求出二次方程f（x）=0的△＞0，即可判斷出方程f（x）=0有實(shí)數(shù)根；
（2）由a+b+c=0，f（0）f（1）＞0，我們可構(gòu)造關(guān)于

b

a

的不等式，解不等式可得）-2＜

b

a

＜-1；
（3）當(dāng)x₁，x₂是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí)，根據(jù)韋達(dá)定理我們可以求出，(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2的范圍，開方后可得

3

3

≤|x₁-x₂|＜

3

2

．

解答：解：（1）∵a≠0，a+b+c=0，a+c=-b，
∴△=4b²-12ac=4（a+c）²-12ac=4[

3

4

a2+(

1

2

a-c)2]＞0
f（x）=3ax²+2bx+c=0有實(shí)數(shù)根，--（4分）
（2）由f（0）f（1）＞0，得c（3a+2b+c）＞0
∵a+b+c=0，
∴c=-（a+b），
∴-（a+b）•（2a+b）＞0，
∴-a2(1+

b

a

)(2+

b

a

)＞0，
∴(1+

b

a

)(2+

b

a

)＜0
解得-2＜

b

a

＜-1----------（9分）
（3）∵x1，x2是方程f（x）=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
∴x1+x2=-

2b

3a

，x1•x2=

c

3a

=-

a+b

3a

∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1•x2
=

4b2

9a2

-4（-

a+b

3a

）
=

4

9

(

b

a

+

3

2

)2+

1

3

∵-2＜

b

a

＜-1
∴

1

3

＜(x1-x2)2＜

4

9

∴

3

3

≤|x₁-x₂|＜

2

3

．--------（15分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，方程的根，韋達(dá)定理，是函數(shù)、方程與不等式之間相互關(guān)系的典型例題．