Question

已知函數(shù)f（a^x）=x，g（x）=2log_a（2x+t-2），其中a＞0且a≠1，t∈R．
（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，并指出其定義域；
（2）若t=4，x∈[1，2]，且F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，求實數(shù)a的值；
（3）已知0＜a＜1，當x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令m=a^x，則x=log_am，則y=f（x）=log_ax，定義域為（0，+∞）；
（2）由題F（x）=g（x）-f（x）=2log_a（2x+2）-log_ax=log_a=og_a（），
∵，等號當且僅當，即當x=1時成立
又F（x）=g（x）-f（x）有最小值2，可得log_a16=2
故a²=16，a=4
（3）f（x）≥g（x），可得log_ax≥2log_a（2x+t-2），
又0＜a＜1，可得≤2x+t-2，可得t≥-2x+2=-
由0＜a＜1，當x∈[1，2]時，有f（x）≥g（x）恒成立可得
t≥-2x+2=-在x∈[1，2]恒成立
由于x=1時-取到最大值1
可得t≥1
分析：（1）求函數(shù)y=f（x）的解析式，可以用換元法求解；
（2）根據(jù)函數(shù)的性質判斷出函數(shù)的最小值，令其等于2，利用此方程求出實數(shù)a的值；
（3）令F（x）=g（x）-f（x），求出其在x∈[1，2]時最大值，讓最大值小于等于0即可得到實數(shù)t的不等式，解此不等式即可．
點評：本題考查函數(shù)的恒成立的問題，函數(shù)恒成立問題的求解，關鍵正確轉化，通過過轉化為其等價的方程或不等式解決恒成立的問題中的參數(shù)的范圍，是此類題的固定思路．本題抽象難以理解．