Question

在以O(shè)為原點的直角坐標系中，點A（4，-3）為△OAB的直角頂點．已知|AB|=2|OA|，且點B的縱坐標大于零．
（1）求向量的坐標；
（2）求圓x²-6x+y²+2y=0關(guān)于直線OB對稱的圓的方程；
（3）是否存在實數(shù)a，使拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩個點？若不存在，說明理由：若存在，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）設(shè)出要求的向量的坐標，根據(jù)所給的模長的關(guān)系和直角三角形兩條直角邊垂直的關(guān)系，寫出關(guān)于向量坐標的關(guān)系式，解方程，舍去不合題意的結(jié)果，得到向量的坐標．
（2）要求圓關(guān)于直線的對稱圓，只要求出圓心關(guān)于直線的對稱點即可，本題需要先根據(jù)向量的坐標求出點B的坐標，從而求出直線的方程，通過計算得到結(jié)果．
（3）設(shè)出拋物線上關(guān)于直線的對稱的兩個點，兩個點的中點在直線上且兩點連線與已知直線垂直，寫出所設(shè)的點的關(guān)系，構(gòu)造一元二次方程，根據(jù)方程有解用判別式得到結(jié)果．
解答：解：（1）設(shè)，
則由||=2||，=0
即
得，或．
∵，
∴v-3＞0，
得v=8，
∴={6，8}；
（2）由={10，5}，得B（10，5），
于是直線OB方程：．
由條件可知圓的標準方程為：（x-3）²+y（y+1）²=10，
得圓心（3，-1），半徑為．
設(shè)圓心（3，-1）關(guān)于直線OB的對稱點為（x，y）
則，
得，
∴所求圓的方程為（x-1）²+（y-3）²=10；
（3）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）為拋物線上關(guān)于直線OB對稱兩點，
則，
得
即x₁，x₂為方程的兩個相異實根，
于是由，
得．
∴當時，拋物線y=ax²-1上總有關(guān)于直線OB對稱的兩點．
點評：本題是近幾年高考常考的問題，向量是數(shù)形結(jié)合的典型例子，向量的加減運算是用向量解決問題的基礎(chǔ)，要學(xué)好運算，才能用向量解決立體幾何問題，三角函數(shù)問題，好多問題都是以向量為載體的