Question

已知圓C：（x-1）²+（y-2）²=2，點(diǎn)P坐標(biāo)為（2，-1），過點(diǎn)P作圓C的切線，切點(diǎn)為A，B．
（1）求直線PA，PB的方程；  
（2）求過P點(diǎn)的圓的切線長；  
（3）求直線AB的方程．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切線方程斜率為k，由切線過點(diǎn)P，表示出切線方程，根據(jù)圓標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心C坐標(biāo)與半徑r，根據(jù)直線與圓相切時(shí)，圓心到切線的距離等于圓的半徑，利用點(diǎn)到直線的距離公式列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出切線方程．
（2）通過p到圓心C的距離、圓的半徑以及切線長滿足勾股定理，求出切線長即可．
（3）利用（2）寫出圓心為P的圓的方程，通過圓系方程寫出公共弦方程即可．

解答：解：（1）設(shè)切線的斜率為k，
∵切線過點(diǎn)P（2，-1），
∴切線方程為：y+1=k（x-2）即：kx-y-2k-1=0，
又圓C：（x-1）²+（y-2）²=2的圓心坐標(biāo)為（1，2），半徑為

2

，
由點(diǎn)到直線的距離公式，得：

2

=

|k-2-2k-1|

k2+(-1)2

，
解得：k=7或k=-1，
則所求的切線方程為：x+y-1=0和7x-y-15=0．
（2）圓心C到P的距離為：

(2-1)2+(-1-2)2

=

10

．
∴切線長為：

( 10 )2-( 2 )2

=2

2

．
（3）以P為圓心，切線長為半徑的圓的方程為：（x-2）²+（y+1）²=8…①
由圓C：（x-1）²+（y-2）²=2，…②
②-①可得AB的方程：（x-1）²+（y-2）²-（x-2）²-（y+1）²=-6，
可得2x-6y+9=0．

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：兩點(diǎn)間的距離公式，點(diǎn)到直線的距離公式，以及圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．