Question

已知a＞0，b＞0，

3

a

+

1

b

=2，求a+b-

a2+b2

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式

專題：三角函數(shù)的求值,不等式的解法及應(yīng)用

分析：如圖所示，下面就一般情況給出結(jié)論．設(shè)P（m，n），∠OAP=θ.θ∈(0，

π

2

)，可得E=m，EA=

n

tanθ

，OA=m+

n

tanθ

．OB=n+mtanθ，AB=

m

cosθ

+

n

sinθ

，于是OA+OB-AB=m+n+mtanθ+

n

tanθ

-

m

cosθ

-

n

sinθ

=2（m+n）-(nx+

2m

x

)，其中x=1+tan

θ

2

∈（1，2）．再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出最大值．把m=

3

2

，n=

1

2

代入上式可得．

解答： 解：∵a＞0，b＞0，

3

a

+

1

b

=2，表示直線AB經(jīng)過(guò)點(diǎn)(

3

2

，

1

2

)，A（a，0），B（0，b）．
則a+b-

a2+b2

=OA+OB-AB．
如圖所示，下面就一般情況給出結(jié)論．
設(shè)P（m，n），∠OAP=θ.θ∈(0，

π

2

)，則
OE=m，EA=

n

tanθ

，∴OA=m+

n

tanθ

．
同理可得：OB=n+mtanθ，AB=

m

cosθ

+

n

sinθ

，
∴OA+OB-AB=m+n+mtanθ+

n

tanθ

-

m

cosθ

-

n

sinθ

=m+n-

m(1-sinθ)

cosθ

-

n(1-cosθ)

sinθ

，
=m+n-

m(cos θ 2 -sin θ 2 )2

cos2 θ 2 -sin2 θ 2

-

n2sin2 θ 2

2sin θ 2 cos θ 2

=m+n-

m(1-tan θ 2 )

1+tan θ 2

-ntan

θ

2

=2（m+n）-(nx+

2m

x

)，其中x=1+tan

θ

2

∈（1，2）．
≤2（m+n）-2

2mn

，當(dāng)且僅當(dāng)x=

2m n

=1+tan

θ

2

時(shí)取等號(hào)．
把m=

3

2

，n=

1

2

代入上式可得：
a+b-

a2+b2

的最大值為2（

3

2

+

1

2

）-2

2× 3 2 × 1 2

=

3

+1-

2 3

．當(dāng)且僅當(dāng)

2× 3 2 1 2

=1+tan

θ

2

，即1+tan

θ

2

=

2 3

時(shí)取等號(hào)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了過(guò)定點(diǎn)的直線有關(guān)最大值問(wèn)題、三角函數(shù)代換問(wèn)題、三角函數(shù)化簡(jiǎn)、基本不等式的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．