Question

直線y=x+b與拋物線C：y²=2px（p＞0）相交于A、B兩點，OA⊥OB，（O為坐標原點）且S_△AOB=2

5

，
（1）求拋物線C的方程；
（2）如果圓（x-4）²+y²=r²與拋物線C有且僅有兩個交點，求半徑r的取值集合．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）聯(lián)立直線和拋物線方程，化為關于x的一元二次方程后利用根與系數(shù)關系得到A，B兩點的橫縱坐標的和與積，由OA⊥OB列式求得p=-

b

2

，然后利用三角形的面積列式求得b的值，則拋物線的方程可求；
（2）聯(lián)立拋物線方程和圓的方程，化為關于y的一元四次方程，換元為一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關系列式求得半徑r的取值集合．

解答： 解：（1）設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=x+b y2=2px

，得x²-2（p-b）x+b²=0，
則x₁+x₂=2（p-b），x1x2=b2，
∴y₁+y₂=2p，y₁y₂=2pb，
又∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=b2+2pb=0，
∴p=-

b

2

．
則x1+x2=-3b，y1+y2=-b，y1y2=-b2．
又∵S_△AOB=2

5

，|AB|=

10

b，
原點O到直線AB的距離為

|b|

2

．
∴

1

2

×

10

b×

|b|

2

=2

5

，解得：b=±2．
又b＞0，
∴b=2．
∴拋物線C的方程為y²=2x；
（2）將拋物線E：y²=2x代入圓（x-4）²+y²=r²（r＞0）的方程，
消去x，整理得y⁴-12y²+64-4r²=0，
令y²=t，
則方程化為t²-12t+64-4r²=0  ①，
拋物線C：y²=x與圓（x-4）²+y²=r²（r＞0）相交于兩點的充要條件是：
（-12）²-4（64-4r²）=0或

(-12)2-4(64-4r2)＞0 64-4r2＜0

，
解得：r=

7

或r＞4．
∴圓（x-4）²+y²=r²與拋物線C有且僅有兩個交點的半徑r的取值集合為：{

7

}∪(4，+∞)．

點評：本題考查了拋物線方程的求法，考查拋物線與圓的位置關系的應用，兩曲線聯(lián)立，根據(jù)方程的根與系數(shù)的關系解題，是處理這類問題的最為常用的方法，但圓錐曲線的特點是計算量比較大，要求考生具備較強的運算推理的能力，是壓軸題．