Question

19．在平面直角坐標系xOy中，點P（x₀，y₀）在曲線y=x²（x＞0）上，已知A（0，-1）P_n（${x}_{0}^{n}$，${y}_{0}^{n}$），n∈N，記直線AP_n的斜率為k_n．
（1）若k₁=2，求P₁的坐標；
（2）若k₁為偶數(shù)，求證：k_n為偶數(shù)．

Answer 1

分析 （1）運用兩點的斜率公式，可得$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}$=2，解方程可得P₁的坐標；
（2）設k₁=2p（p∈N^*），運用直線 的斜率公式，求得x₀，再求k_n，運用二項式定理，討論n為偶數(shù)或奇數(shù)，即可得證．

解答 解：（1）由k₁=2，可得$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}$=2，
解得x₀=1，y₀=1，則P₁（1，1）：
（2）證明：設k₁=2p（p∈N^*），即$\frac{{y}_{0}+1}{{x}_{0}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2}+1}{{x}_{0}}$=2p，
解得x₀=p±$\sqrt{{p}^{2}-1}$，
由y₀=x₀²，可得k_n=$\frac{{{y}_{0}}^{n}+1}{{{x}_{0}}^{n}}$=$\frac{{{x}_{0}}^{2n}+1}{{{x}_{0}}^{n}}$=x₀ⁿ+$\frac{1}{{{x}_{0}}^{n}}$，
當x₀=p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$時，k_n=（p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ+$\frac{1}{（p+\sqrt{{p}^{2}-1}）^{n}}$
=（p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ+（p-$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ；
同理當x₀=p-$\sqrt{{p}^{2}-1}$時，k_n=（p+$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ+（p-$\sqrt{{p}^{2}-1}$）ⁿ．
①當n=2m（m∈N^*），k_n=2$\sum_{k=0}^{m}$${C}_{n}^{2k}$p^n-2k（p²-1）^k，即有k_n為偶數(shù)；
②當n=2m+1（m∈N^*），k_n=2$\sum_{k=0}^{m}$${C}_{n}^{2k}$p^n-2k（p²-1）^k，即有k_n為偶數(shù)．
綜上可得，k_n為偶數(shù)．

點評 本題考查二項式定理的運用，直線的斜率公式的運用，以及點滿足拋物線的方程，考查分類討論和化簡整理的運算能力，屬于難題．