Question

13．已知函數(shù)f（x）=x1nx-x+1．
（I）求曲線f（x）在點（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=af（x）-$\frac{1}{2}$x²（α∈R）在其定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，求a的取值范圍；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，記兩個極值點分別為x₁，x₂．且x₁＜x₂，若不等式a＜mx₁+（1-m）x₂（m＞0）恒成立，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由求導(dǎo)公式和法則求出f′（x），由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，由點斜式方程求出切線方程；
（Ⅱ）化簡g（x）的解析式求出g′（x），由條件可得g′（x）=0有兩個不同的正根，求出g″（x）后利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的關(guān)系，求出g′（x）的單調(diào)區(qū)間和最大值，列出不等式求出a的范圍；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和條件判斷出x₁＜a＜x₂，對m進(jìn)行分類討論，分別利用不等式的性質(zhì)，判斷出式子與x₁、x₂的大小關(guān)系，即可得到答案．

解答 解：（Ⅰ）由題意得，f′（x）=1nx+x×$\frac{1}{x}$-1=lnx，
則f′（1）=0，且f（1）=0，
即在點（1，f（1））處的切線方程是y=0；
（Ⅱ）g（x）=af（x）-$\frac{1}{2}$x²=a（xlnx-x+1）-$\frac{1}{2}$x²，
則x＞0，g′（x）=alnx-x，
因為函數(shù)g（x）在定義域內(nèi)有兩個不同的極值點，
所以g′（x）=alnx-x=0有兩個不同的正根，
g″（x）=$\frac{a}{x}-1$=$\frac{a-x}{x}$，由g″（x）=0得x=a＞0，
當(dāng)x∈（0，a）時，g″（x）＞0，則g′（x）在（0，a）上遞增，
當(dāng)x∈（a，+∞）時，g″（x）＜0，則g′（x）在（a，+∞）上遞減，
所以g′（x）=alnx-x的最大值是g′（a），
因為g′（x）=alnx-x=0有兩個不同的正根，
則g′（a）=alna-a＞0，即lna＞1，解得a＞e，
所以a的取值范圍是（e，+∞）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）和條件得，
g′（x）=alnx-x=0有兩個不同的正根分別是x₁，x₂，
且x₁＜x₂，且x₁＜a＜x₂，
①當(dāng)m∈（0，1）時，有1-m＞0，
∵mx₁+（1-m）x₂＞mx₁+（1-m）x₁=x₁，
mx₁+（1-m）x₂＜mx₂+（1-m）x₂=x₂，
得mx₁+（1-m）x₂∈（x₁，x₂），符合條件；
②當(dāng)m≥1時，1-m≤0，
∵mx₁+（1-m）x₂≤mx₁+（1-m）x₁=x₁，
mx₁+（1-m）x₂≤mx₂+（1-m）x₂=x₂，
可得mx₁+（1-m）x₂≤x₁，與條件不符，
∴綜合①②得 m∈（0，1）．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值，不等式的性質(zhì)的應(yīng)用，以及不等式恒成立問題，屬于難題．