在如圖的直三棱柱中，，點是的中點.

(1)求證：∥平面；

(2)求異面直線與所成的角的余弦值；

(3)求直線與平面所成角的正弦值；

 

【答案】

（1）建立空間直角坐標系，利用向量證明，進而用線面平行的判定定理即可證明；

（2）

（3）

【解析】

試題分析：因為已知直三棱柱的底面三邊分別是3、4、5，

所以兩兩互相垂直，

如圖以為坐標原點,直線分別為軸、軸、軸

建立空間直角標系，                                                     ……2分

則，，.

（1）設與的交點為，連接,則

則 

∴∥， ∵內，平面

∴∥平面 ；                                                  ……4分

（2）∵ ∴，

.                              ……6分

∴；

∴所求角的余弦值為 .                                             ……8分

（3）設平面的一個法向量，則有：

，解得，.                                    ……10分

設直線與平面所成角為. 則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.                 ……12分

（其它方法仿此酌情給分）

考點：本小題主要考查線面平行，異面直線所成的角和線面角.

點評：解決立體幾何問題，可以用判定定理和性質定理，也可以建立空間直角坐標系用向量方法證明，但是用向量方法時，也要依據(jù)相應的判定定理和性質定理，定理中需要的條件要一一列舉出來，一個也不能少.

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（08年濰坊市六模） （12分） 如圖，直三棱柱中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，

  AC＝2a，＝3a，D為的中點，E為的中點．

 

　　（1）求直線BE與所成的角；

　�。�2）在線段上是否存在點F，使CF⊥平面，若存在，求出；若不存在，說明理由．

 

　　

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆江蘇省江陰市高二上學期期中考試數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，、分別是棱、的中點，點在棱上，已知，，．

（1）求證：平面；

（2）設點在棱上，當為何值時，平面平面？

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年河北省唐山市高三第二次模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，直三棱柱中，AB=BC，，Q是AC上的點，AB1//平面BC1Q.

（Ⅰ）確定點Q在AC上的位置;

（Ⅱ）若QC1與平面BB1C1C所成角的正弦值為，求二面角Q－BC1—C的余弦值.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆江蘇省高二下期中理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，直三棱柱中， ，. 分別為棱的中點.

（1）求二面角的平面角的余弦值；

（2）在線段上是否存在一點，使得平？

若存在，確定其位置；若不存在，說明理由.

 

 

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