【題目】已知函數(shù)(
為自然對數(shù)的底數(shù),
).
(1)求函數(shù)在點
處的切線方程;
(2)若對于任意,存在
,使得
,求
的取值范圍;
(3)若恒成立,求
的取值范圍.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)對函數(shù)求導(dǎo),求得
,
,由直線的點斜式方程可求得切線;
(2)對函數(shù)求導(dǎo),得出函數(shù)
在
上單調(diào)性,可求得函數(shù)
在
上的最值,再根據(jù)對于任意
,存在
,使得
,則需
,
討論a可求得a的范圍;
(3) )因為,所以由
得
令
,則
,分析導(dǎo)函數(shù)的正負,得出原函數(shù)的單調(diào)性,從而得出最值,根據(jù)不等式恒成立的思想得出求得a的范圍.
(1),
,
,又
,
所以切線方程為:,即
;
(2),
時,
,
在
上單調(diào)遞增,
,
由于對于任意,存在
,使得
,則需
,
當時,
,不滿足
,故
,
當時,
在
上單調(diào)遞增,
,所以
,解得
;
當時,
在
上單調(diào)遞減,所以
在
上沒有最大值,所以
不滿足,
綜上可得,;
(3)因為,所以由
得
令
,則
,
令則
在
上單調(diào)遞減,且
,所以存在唯一的零點
,使得
,
即有也即有
,
,即
,
所以,
,所以
在
上單調(diào)遞增,在
上遞減,所以
,
而,所以
,
所以.
所以的取值范圍是
.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某林場現(xiàn)有木材存量為,每年以25%的增長率逐年遞增,但每年年底要砍伐的木材量為
,經(jīng)過
年后林場木材存有量為
(1)求的解析式
(2)為保護生態(tài)環(huán)境,防止水土流失,該地區(qū)每年的森林木材存量不應(yīng)少于,如果
,那么該地區(qū)會發(fā)生水土流失嗎?若會,要經(jīng)過幾年?(取
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律,提高旅游服務(wù)質(zhì)量,收集并整理了2014年1月至2016年12月期間月接待游客量(單位:萬人)的數(shù)據(jù),繪制了如圖所示的折線圖.根據(jù)該折線圖,下列結(jié)論錯誤的是( )
A.月接待游客量逐月增加
B.年接待游客量逐年增加
C.各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月
D.各年1月至6月的月接待游客量相對于7月至12月,波動性更小,變化比較平穩(wěn)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】(本題14分)下表提供了某廠節(jié)能降耗技術(shù)改造后生產(chǎn)甲產(chǎn)品過程中記錄的產(chǎn)量(噸)與相應(yīng)的生產(chǎn)能耗
(噸)標準煤的幾組對照數(shù)據(jù):
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖;并指出x,y 是否線性相關(guān);
(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),用最小二乘法求出關(guān)于
的線性回歸方程
;
(3)已知該廠技術(shù)改造前100噸甲產(chǎn)品能耗為90噸標準煤,試根據(jù)(2)求出的線性回歸方程,預(yù)測生產(chǎn)100噸甲產(chǎn)品的生產(chǎn)能耗比技術(shù)改造前降低多少噸標準煤?
(參考:用最小二乘法求線性回歸方程系數(shù)公式,
)
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】過點作已知直線
的平行線,交雙曲線
于點
.
(1)證明:Q是線段MN的中點;
(2)分別過點M、N作雙曲線的切線,證明:三條直線
相交于同一點;
(3)設(shè)為直線
上一動點,過
作雙曲線的切線
,切點分別為
,證明:點Q在直線AB上.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】隨著網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展,網(wǎng)上購物越來越受到人們的喜愛,各大購物網(wǎng)站為增加收入,促銷策略越來越多樣化,促銷費用也不斷增加,下表是某購物網(wǎng)站2018年1-8月促銷費用(萬元)和產(chǎn)品銷量(萬件)的具體數(shù)據(jù):
月份 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
促銷費用 | 2 | 3 | 6 | 10 | 13 | 21 | 15 | 18 |
產(chǎn)品銷量 | 1 | 1 | 2 | 3 | 3.5 | 5 | 4 | 4.5 |
(1)根據(jù)數(shù)據(jù)繪制的散點圖能夠看出可用線性回歸模型與
的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)
加以說明(系數(shù)精確到0.001);
(2)建立關(guān)于
的線性回歸方程
(系數(shù)精確到0.001);如果該公司計劃在9月份實現(xiàn)產(chǎn)品銷量超6萬件,預(yù)測至少需要投入費用多少萬元(結(jié)果精確到0.01).
參考數(shù)據(jù):,
,
,
,
,其中
,
分別為第
個月的促銷費用和產(chǎn)品銷量,
.
參考公式:(1)樣本相關(guān)系數(shù)
;
(2)對于一組數(shù)據(jù),
,…,
,其回歸方程
的斜率和截距的最小二乘估計分別為
,
.
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