Question

已知函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

 （a＞0，x＞0）．
（1）求證：f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）只要證明f（x）的導(dǎo)數(shù)在（0，+∞）上大于0即可；
（2）已知f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，轉(zhuǎn)化為

1

a

-

1

x

≤2x在（0，+∞）上恒成立，利用常數(shù)分離法求出a的范圍；

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=

1

a

-

1

x

（a＞0，x＞0），
∴f′（x）=

1

x2

＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)；
（2）若f（x）≤2x在（0，+∞）上恒成立，得

1

a

-

1

x

≤2x，
∴

1

a

≤

1

x

+2x，只要求出

1

x

+2x在（0，+∞）上的最小值即可，
∴

1

x

+2x≥2

2

（當(dāng)x=

2

2

時(shí)等號成立），
∴

1

a

≤2

2

，a＞0，
∴a≥

2

4

；

點(diǎn)評：此題考查利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)的單調(diào)性，第二問涉及恒成立問題，需要用到轉(zhuǎn)化的思想，此題是一道中檔題；