Question

【題目】已知橢圓:離心率是分別是橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)作斜率為的直線(xiàn)，交橢圓于，兩點(diǎn)，且三角形周長(zhǎng)

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若直線(xiàn)分別交軸于不同的兩點(diǎn)，．如果為銳角，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)題意及橢圓定義，并借助，即可求得橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)出直線(xiàn)方程，點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，并與橢圓方程聯(lián)立，借助根與系數(shù)的關(guān)系表示出和，列出直線(xiàn)和的方程求出點(diǎn)和點(diǎn)坐標(biāo)，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，將和的式子代入并化簡(jiǎn)，再根據(jù)為銳角，即可得解.

（1）由題意，橢圓的離心率是，三角形周長(zhǎng)，

可得，，

解得，，，所以橢圓的方程為.

（2）由題意知直線(xiàn)的斜率不為0，

設(shè)直線(xiàn)的方程為，直線(xiàn)與橢圓的交點(diǎn)為，，

由得，

，①

直線(xiàn)的方程為，令，則，

同理可得，

所以

將①代入并化簡(jiǎn)，得，

因?yàn)?/span>為銳角，所以，即，

解得或.

所以，直線(xiàn)的斜率的取值范圍是

.