Question

18．根據(jù)下列條件求拋物線方程：
（1）頂點在原點，焦點為F（0，$\frac{1}{4}$）的拋物線的標準方程；
（2）頂點在原點，準線方程為x=3的拋物線方程；
（3）頂點在原點，對稱軸為坐標軸，焦點在直線y=2x-4上的拋物線方程．

Answer 1

分析 （1）（2）設(shè)出方程，利用相應(yīng)的性質(zhì)，可得拋物線的方程；
（3）求出已知直線與坐標軸的交點A和B，在焦點分別為A和B的情況下設(shè)出拋物線標準方程，對照拋物線焦點坐標的公式求待定系數(shù)，即可得到相應(yīng)拋物線的方程．

解答 解：（1）頂點在原點，焦點為F（0，$\frac{1}{4}$）的拋物線的標準方程為x²=y；
（2）頂點在原點，準線方程為x=3的拋物線方程為y²=-12x；
（3）直線y=2x-4交x軸于點A（2，0），與y軸交于點B（0，-4）
①當拋物線的焦點在A點時，設(shè)方程為y²=2px，（p＞0），可得$\frac{p}{2}$=2，所以2p=8，
∴拋物線方程為y²=8x；
②當拋物線的焦點在B點時，設(shè)方程為x²=-2p'y，（p'＞0），可得$\frac{p′}{2}$=4，所以2p'=16，
∴拋物線方程為x²=-16y，
綜上所述，得此拋物線方程為y²=8x或x²=-16y．

點評 本題給出拋物線的焦點坐標、準線方程，求它的標準方程，著重考查了拋物線的標準方程和簡單幾何性質(zhì)等知識，屬于中檔題．