Question

8．如圖，已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的上頂點為A，左右頂點為B，C，右焦點為F，|AF|=3，且△ABC的周長為14．
（1）求橢圓的離心率；
（2）過點M（4，0）的直線l與橢圓相交于不同兩點P，Q，點N在線段PQ上，設λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，試判斷點N是否在一條定直線上，并求實數λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）由丨AF丨²=b²+c²=a²，則a=3，2（丨AC丨+a）=14，即可求得b的值，則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{2}$，利用橢圓的離心率公式，即可求得橢圓的離心率；
（2）方法一：由$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，整理得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，即可求得x₀=$\frac{9}{4}$，λ=$\frac{丨MP丨}{丨PN丨}$=$\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$，利用$\frac{9}{4}$＜x₁≤3，即可求得實數λ的取值范圍；
方法二：由$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，整理得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂），將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理，利用求根公式，求得x₀=$\frac{9}{4}$，λ=$\frac{56k}{42k\sqrt{1-{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3\sqrt{1-{k}^{2}}}$≥$\frac{4}{3}$，即可求得實數λ的取值范圍；
方法三：由題意可在$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，根據向量的坐標運算，求得P，Q坐標，代入橢圓方程，整理求得x₀=$\frac{9}{4}$，同方法一，即可求得即可求得實數λ的取值范圍．

解答 解：（1）由丨AF丨²=b²+c²=a²，則a=3，--------------------------（1分）
△ABC的周長為2（丨AC丨+a）=14，即$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$+a=7，得b²=7，
則c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$=$\sqrt{2}$，
橢圓的離心率為e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{3}$；---------------------------------------------（4分）
（2）方法一：顯然直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-4），
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），
由$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{y}_{2}-{y}_{0}}$，化簡得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂）①，-----（6分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$消去x，得（9k²+7）y²+56ky+49k²=0，
得y₁+y₂=-$\frac{56k}{9{k}^{2}+7}$，y₁y₂=$\frac{49{k}^{2}}{9{k}^{2}+7}$，----------------------------------------------------（8分）
代入①式得y₀=-$\frac{7}{4}$k，由y₀=k（x₀-4），得x₀=$\frac{9}{4}$，
λ=$\frac{丨MP丨}{丨PN丨}$=$\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{4-{x}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{\frac{7}{4}}{{x}_{1}-\frac{9}{4}}$，---------------------------------------（10分）
由$\frac{9}{4}$＜x₁≤3，得0＜x₁-$\frac{9}{4}$≤$\frac{3}{4}$，則λ≥-1+$\frac{7}{3}$=$\frac{4}{3}$，
因此，N在一條直線x=$\frac{9}{4}$上，實數λ∈[$\frac{4}{3}$，+∞）．------------------------------------------（12分）
【法二：顯然直線l的斜率存在，設l的方程為y=k（x-4），不妨設k＞0，
設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），y₂＜y₁，
由λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，得λ=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{0}-{y}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{y}_{2}-{y}_{0}}$，化簡得2y₁y₂=y₀（y₁+y₂）①，（6分）
由y₁=λ（y₀-y₁），y₂=λ（y₂-y₀），得y₁+y₂=λ（y₂-y₁），②，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-4）}\\{\frac{{x}^{2}}{9}+\frac{{y}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$消去x，得（9k²+7）y²+56ky+49k²=0，
可知△=（56k）²-4×（9k²+7）×49k²=49k²-36（1-k²）＞0，
得y₁+y₂=-$\frac{56k}{9{k}^{2}+7}$，y₁y₂=$\frac{49{k}^{2}}{9{k}^{2}+7}$，y_1，2=$\frac{-56k±\sqrt{△}}{2（9{k}^{2}+7）}$，----------------------（8分）
代入①式得y₀=-$\frac{7}{4}$k，由y₀=k（x₀-4），得x₀=$\frac{9}{4}$，---------------------------------------（9分）
由②式得-$\frac{56k}{9{k}^{2}+7}$=λ•$\frac{-\sqrt{△}}{9{k}^{2}+7}$，得λ=$\frac{56k}{42k\sqrt{1-{k}^{2}}}$=$\frac{4}{3\sqrt{1-{k}^{2}}}$≥$\frac{4}{3}$，
因此，N在一條直線x=$\frac{9}{4}$上，實數λ∈[$\frac{4}{3}$，+∞）．------------------------------------------（12分）
【法三：設P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），N（x₀，y₀），x₂＜x₁，由λ=$\frac{|MP|}{|PN|}$=$\frac{|MQ|}{|QN|}$，
得$\overrightarrow{MP}$=λ$\overrightarrow{PN}$，$\overrightarrow{MQ}$=-λ$\overrightarrow{QN}$，-----------------------------------------------------------------------（5分）
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}=\frac{4+λ{x}_{0}}{1+λ}}\\{{y}_{1}=\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}=\frac{4-λ{x}_{0}}{1-λ}}\\{{y}_{2}=\frac{-λ{y}_{0}}{1-λ}}\end{array}\right.$將P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），代入橢圓方程得------------------（7分）
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{（\frac{4+λ{x}_{0}}{1+λ}）^{2}}{9}+\frac{（\frac{λ{y}_{0}}{1+λ}）^{2}}{7}=1}\\{\frac{（\frac{4-λ{x}_{0}}{1-λ}）^{2}}{9}+\frac{（{\frac{-λ{y}_{0}}{1-λ}）}^{2}}{7}=1}\end{array}\right.$，-----------------（9分）
上面兩式相減化簡得x₀=$\frac{9}{4}$，
λ=$\frac{丨MP丨}{丨PN丨}$=$\frac{4-{x}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{4-{x}_{0}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$=-1+$\frac{\frac{7}{4}}{{x}_{1}-\frac{9}{4}}$，---------------------------------------（10分）
由$\frac{9}{4}$＜x₁≤3，得0＜x₁-$\frac{9}{4}$≤$\frac{3}{4}$，則λ≥-1+$\frac{7}{3}$=$\frac{4}{3}$，
因此，N在一條直線x=$\frac{9}{4}$上，實數λ∈[$\frac{4}{3}$，+∞）．----------------------------------（12分）

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查直線與橢圓的位置關系，考查韋達定理，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．