Question

【題目】設(shè)點(diǎn)，動(dòng)圓經(jīng)過點(diǎn)且和直線相切，記動(dòng)圓的圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）設(shè)曲線上一點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過的直線交于另一點(diǎn)，交軸于點(diǎn)，過點(diǎn)作的垂線交于另一點(diǎn).若是的切線，求的最小值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：（1）根據(jù)拋物線的定義，求出拋物線的解析式即可；（2）求出直線的方程，求出的坐標(biāo)，聯(lián)立方程組，求出的坐標(biāo)，求出直線的斜率，得到關(guān)于的不等式，求出的范圍即可．

試題解析：（1）過點(diǎn)作直線垂直于直線于點(diǎn)，由題意得，

所以動(dòng)點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)、直線為準(zhǔn)線的拋物線.

所以拋物線的方程為.

（2）由題意知，過點(diǎn)的直線斜率存在且不為0，設(shè)其為.

則，當(dāng)，則.

聯(lián)立方程，整理得： .

即： ，解得或.

∴，而，∴直線斜率為.

∴ ，

聯(lián)立方程，

整理得： ，

即： ， ，

解得： ，或.

∴

∴ .

而拋物線在點(diǎn)處切線斜率： ，

是拋物線的切線， ∴，

整理得，

∴，解得 (舍去)，或，∴.