已知兩定點(diǎn)F1(-,0),F2(,0)滿足條||-||=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線C,直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn),且|AB|=.

(1)求曲線C的方程;

(2)若曲線C上存在一點(diǎn)D,使+=m,求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離.

解:(1)由雙曲線的定義可知曲線C是以F1(-,0),F2(,0)為焦點(diǎn)的雙曲線的左半支,

且c=,2a=2,a=1,故b=1,所以軌跡C的方程是x2-y2=1(x＜0).

(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由題意得方程組

消去y,得(1-k2)x2+4kx-5=0.

又已知直線與曲線C交于A、B兩點(diǎn),故有

解得-＜k＜-1.

∵|AB|=|x2-x1|

=·=2=,∴.

設(shè)t=k2,得7t2-23t-20=0,(t-4)(7t+5)=0.

∴t=4,t=(舍去).

又由k2=4,舍去k=2,得k=-2,于是直線AB的方程為y=-2x-2,

即2x+y+2=0.

由解得.

不妨設(shè)=（-1，0），=（，）,由+=m,故有=(,).

將D點(diǎn)坐標(biāo)代入曲線C的方程,得=1.解得m=±,但當(dāng)m=時(shí),點(diǎn)D在雙曲線右支上,不合題意,∴m=.

點(diǎn)D的坐標(biāo)為（,),D到AB的距離為.

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|=2．
（Ⅰ）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡c的方程；
（Ⅱ）過(guò)點(diǎn)M（0，1）的直線l與c交于A、B兩點(diǎn)，且
MA
=λ
MB
，當(dāng)
1
3
≤λ≤
1
2
時(shí)，求直線l的斜率k的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩定點(diǎn)F1（-
2
，0），F(xiàn)2（
2
，0）滿足條件|
PF2
| -|
PF1
| =2的點(diǎn)P的軌跡方程是曲線C，直線y=kx-2與曲線C交于A、B兩點(diǎn)，且|
AB
| =
2
5
3
．
（1）求曲線C的方程；
（2）若曲線C上存在一點(diǎn)D，使
OA
+
OB
=m
OD
，求m的值及點(diǎn)D到直線AB的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩定點(diǎn)F1（-1，0），F(xiàn)2（1，0）且|F1F2|是|PF1|與|PF2|的等差中項(xiàng)，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是
x2
4
+
y2
3
=1
x2
4
+
y2
3
=1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩定點(diǎn)F1(-
2
，0)，F2(
2
，0)，滿足條件|
PF2
|-|
PF1
|=2的點(diǎn)P的軌跡是曲線E，過(guò)點(diǎn)（0，-1）的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|=6
3
．
（1）求曲線E的方程；
（2）求直線l的方程；
（3）問(wèn)：曲線E上是否存在點(diǎn)C，使
OA
+
OB
-m
OC
=
0
（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），若存在，則求出m的值和△ABC的面積S；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2012•閔行區(qū)三模）規(guī)定：直線l到點(diǎn)F的距離即為點(diǎn)F到直線l的距離，在直角坐標(biāo)平面xoy中，已知兩定點(diǎn)F1（-1，0）與F2（1，0）位于動(dòng)直線l：ax+by+c=0的同側(cè)，設(shè)集合P={l|點(diǎn)F1與點(diǎn)F2到直線l的距離之和等于2}，Q={（x，y）|（x，y）∉l，l∈P}．則由Q中的所有點(diǎn)所組成的圖形的面積是
π
π
．

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