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【題目】已知拋物線： ，定點（常數）的直線與曲線相交于、兩點.

（1）若點的坐標為，求證：

（2）若，以為直徑的圓的位置是否恒過一定點？若存在，求出這個定點，若不存在，請說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2））以為直徑的圓恒過定點

【解析】試題分析：（1）要證明∠AED=∠BED，根據直線的傾斜角與斜率的關系，只要證KAE=-KBE即可，討論直線AB的斜率是否存在，設出直線方程，聯(lián)立拋物線的方程，運用韋達定理和直線的斜率公式，即可得證；（2）設動直線l方程為x=ty+b，表示出B坐標，聯(lián)立l與拋物線解析式，消去x得到關于y的方程，根據根的判別式等于0得出t與b的關系式，進而設出A與O的坐標，表示出向量AO與向量BO根據圓周角定理得到兩向量垂直，即數量積為0，列出關系式，確定出當m=1，n=0時，上式對任意x∈R恒成立，即可得出使得以AB為直徑的圓恒過點O，以及此時O的坐標.

試題解析：（1）（a）當直線垂直于軸時，根據拋物線的對稱性有， ；

當直線與軸不垂直時，依題意，

可設直線的方程為（， ）

， ，則、兩點的坐標

滿足方程組

消去并整理，得

，

設直線和的斜率分別為， ，則

，

.

綜合（a）（b）可知.

（2）以為直徑的圓恒過定點.提示：證明

練習冊系列答案
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