Question

已知橢圓C的方程為（a＞0），其焦點(diǎn)在x軸上，點(diǎn)Q為橢圓上一點(diǎn)．
（1）求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)動點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足，其中M、N是橢圓C上的點(diǎn)，直線OM與ON的斜率之積為，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下探究：是否存在兩個定點(diǎn)A，B，使得|PA|+|PB|為定值？若存在，給出證明；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，
所以，解得a²=4，
所以橢圓方程為；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
又，化簡得x₁x₂+2y₁y₂=0，
又M、N是橢圓C上的點(diǎn)，所以，，即，，
由，，
所以
=
=4+4×4+4（x₁x₂+2y₁y₂）
=20（定值）；
（3）由（2）知，動點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足，即，
所以點(diǎn)P的軌跡是以為焦點(diǎn)的橢圓．
故存在點(diǎn)A（）、B（），使得|PA|+|PB|=（定值）．
分析：（1）把點(diǎn)Q坐標(biāo)代入橢圓方程即可求得a²；
（2）設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），由直線OM與ON的斜率之積為，可得M、N坐標(biāo)間的關(guān)系式，由，，從而可化為M、N坐標(biāo)的表達(dá)式，再由M、N是橢圓C上的點(diǎn)即可求得為定值；
（3）由（2）知，動點(diǎn)P（x₀，y₀）滿足，從而可判斷點(diǎn)P軌跡是橢圓，其焦點(diǎn)即為定點(diǎn)A、B；
點(diǎn)評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系、橢圓方程的求解及平面向量基本定理，考查學(xué)生對問題的理解分析能力及解決問題的能力，具有一定綜合性．