【題目】已知等差數(shù)列{an}的公差d>0,其前n項(xiàng)和為Sn , 若S3=12,且2a1 , a2 , 1+a3成等比數(shù)列.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)記bn= (n∈N*),且數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn , 證明: ≤Tn< .
【答案】
(1)解:依題意,得 ,
即 ,得d2+d﹣12=0.
∵d>0,∴d=3,a1=1.
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an=1+3(n﹣1)=3n﹣2
(2)證明:∵ ,
前n項(xiàng)和為Tn= (1﹣ + ﹣ +…+ ﹣ )
= ×(1﹣ )= ,
由Tn遞增,可得Tn≥T1= ,
又Tn< ,則
【解析】(1)由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和等比數(shù)列的性質(zhì),解方程可得首項(xiàng)和公差,即可得到所求通項(xiàng)公式;(2)求得bn= ( ﹣ ),再由數(shù)列的求和方法:裂項(xiàng)相消求和,結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性和不等式的性質(zhì),即可得證.
【考點(diǎn)精析】掌握數(shù)列的前n項(xiàng)和是解答本題的根本,需要知道數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和sn與通項(xiàng)an的關(guān)系.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù), .
(1)若函數(shù)有三個(gè)不同的極值點(diǎn),求的值;
(2)若存在實(shí)數(shù),使對(duì)任意的,不等式恒成立,求正整數(shù)的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線垂直,求函數(shù)的極值;
(2)設(shè)函數(shù).當(dāng)=時(shí),若區(qū)間[1,e]上存在x0,使得,求實(shí)數(shù)的取值范圍.(為自然對(duì)數(shù)底數(shù))
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x+ ,且此函數(shù)圖象過點(diǎn)(1,5).
(1)求函數(shù)m的值;
(2)判斷函數(shù)f(x)在[2,+∞)上的單調(diào)性?并證明你的結(jié)論.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】給出下列結(jié)論:①y=1是冪函數(shù);
②定義在R上的奇函數(shù)y=f(x)滿足f(0)=0
③函數(shù) 是奇函數(shù)
④當(dāng)a<0時(shí),
⑤函數(shù)y=1的零點(diǎn)有2個(gè);
其中正確結(jié)論的序號(hào)是(寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2+3x+a
(1)當(dāng)a=﹣2時(shí),求不等式f(x)>2的解集
(2)若對(duì)任意的x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知點(diǎn)P(a,b)(ab≠0)是圓x2+y2=r2內(nèi)的一點(diǎn),直線m是以P為中點(diǎn)的弦所在直線,直線l的方程為ax+by=r2 , 那么( )
A.m∥l,且l與圓相交
B.m⊥l,且l與圓相切
C.m∥l,且l與圓相離
D.m⊥l,且l與圓相離
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】設(shè)集合M={x|0≤x≤2},N={y|0≤y≤2},給出如下四個(gè)圖形,其中能表示從集合M到集合N的函數(shù)關(guān)系的是( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù)f(x)=x2﹣2ax+5(a>1),
(1)若f(x)的定義域和值域均是[1,a],求實(shí)數(shù)a的值;
(2)若f(x)在區(qū)間(﹣∞,2]上是減函數(shù),且對(duì)任意的x∈[1,a+1],都有f(x)≤0,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;
(3)若g(x)=2x+log2(x+1),且對(duì)任意的x∈[0,1],都存在x0∈[0,1],使得f(x0)=g(x)成立,求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
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