Question

15．設(shè)函數(shù)f（x）=|$\frac{2}{x}$-ax-b|（a，b∈R），若對任意的正實(shí)數(shù)a和實(shí)數(shù)b，總存在x₀∈[1，2]，使得f（x₀）≥m，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． （-∞，0]
• B． （-∞，$\frac{1}{2}$]
• C． （-∞，1]
• D． （-∞，2]

Answer 1

分析 設(shè)f（x）的最大值為M（b），令u（x）=$\frac{2}{x}$-ax-b，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)u（x）單調(diào)遞減，可得：1-2a-b≤u（x）≤2-a-b．由a＞0，可得1-2a-b＜2-a-b．由1-2a-b+2-a-b=0，解得b=$\frac{3-3a}{2}$．對a分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性即可得出．

解答 解：設(shè)f（x）的最大值為M（b），令u（x）=$\frac{2}{x}$-ax-b，當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，函數(shù)u（x）單調(diào)遞減，∴1-2a-b≤u（x）≤2-a-b．
∵a＞0，∴1-2a-b＜2-a-b．
由1-2a-b+2-a-b=0，解得b=$\frac{3-3a}{2}$．
①由0＜a≤1，b≥$\frac{3-3a}{2}$時(shí)，M（b）=2a+b-1；b＜$\frac{3-3a}{2}$時(shí)，M（b）=2-a-b．當(dāng)b=$\frac{3-3a}{2}$時(shí)，M（b）min=$\frac{1+a}{2}$∈$（\frac{1}{2}，1]$．
②由1≤a≤2，M（b）=2a+b-1≥1+b，M（b）min=2a+b-1＞1．
③由2≤a時(shí)，2-a-b＜0，M（b）=2a+b-1≥1+a，M（b）min=1+a≥3．
綜上可得：M（b）_min$＞\frac{1}{2}$，∴m≤$\frac{1}{2}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、分類討論方法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．