3.在△ABC中,BC=$\sqrt{3}$,∠A=60°,則△ABC周長的最大值$3\sqrt{3}$.

分析 由正弦定理可得:$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=2,因此△ABC周長=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC,=2sinB+2sin(120°-B)+$\sqrt{3}$,利用和差公式展開化簡整理,再利用三角函數(shù)的單調(diào)性即可得出.

解答 解:在△ABC中,由正弦定理可得:$\frac{sinB}$=$\frac{c}{sinC}$=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{sin6{0}^{°}}$=2,
∴b=2sinB,c=2sinC,
∴△ABC周長=a+b+c=$\sqrt{3}$+2sinB+2sinC,
=2sinB+2sin(120°-B)+$\sqrt{3}$
=2sinB+2$(\frac{\sqrt{3}}{2}cosB+\frac{1}{2}sinB)$+$\sqrt{3}$
=3sinB+$\sqrt{3}$cosB+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$$(\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB)$+$\sqrt{3}$
=2$\sqrt{3}$sin(B+30°)+$\sqrt{3}$,
∵0°<B<120°,
∴B+30°∈(30°,150°),
∴sin(B+30°)∈$(\frac{1}{2},1]$.
∴△ABC周長≤3$\sqrt{3}$.
故答案為:3$\sqrt{3}$.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦定理、和差公式、三角函數(shù)求值,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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