Question

函數(shù)在時(shí)取得極小值.

（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）是否存在區(qū)間，使得在該區(qū)間上的值域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720120100957831/SYS201411172012140100307032_ST/SYS201411172012140100307032_ST.006.png">？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

（1）．（2）滿(mǎn)足條件的值只有一組，且．

【解析】

試題分析：本題利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值與單調(diào)性等基礎(chǔ)知識(shí)，是高考常考的題型，對(duì)于（1），根據(jù)極值定義解方程即可，但注意檢驗(yàn)極大值與極小值取得條件；對(duì)于（2），由得出：然后再討論和兩種情況，設(shè)利用導(dǎo)數(shù)方法研究函數(shù)的單調(diào)性，再結(jié)合方程、不等式解題.

（1），

由題意知，解得或．

當(dāng)時(shí)，，

易知在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，符合題意；

當(dāng)時(shí)，，

易知在上為增函數(shù)，在，上為減函數(shù)，不符合題意．

所以，滿(mǎn)足條件的．

（2）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720120100957831/SYS201411172012140100307032_DA/SYS201411172012140100307032_DA.005.png">，所以．

①若，則，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720120100957831/SYS201411172012140100307032_DA/SYS201411172012140100307032_DA.021.png">，所以．

設(shè)，則，

所以在上為增函數(shù)．

由于，即方程有唯一解為．② 若，則，即或．

（Ⅰ）時(shí)，，

由①可知不存在滿(mǎn)足條件的．

時(shí)，，兩式相除得．

設(shè)，

則，

在遞增，在遞減，由得，，

此時(shí)，矛盾．

綜上所述，滿(mǎn)足條件的值只有一組，且．

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值問(wèn)題，結(jié)合方程，不等式等.