Question

4．已知雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)為（2，0），且漸近線(xiàn)的方程為y=±x，那么該雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 由雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為y=±x，可知雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，根據(jù)頂點(diǎn)為（2，0），即可求得a和b的值，求得雙曲線(xiàn)方程．

解答 解：雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)的方程為y=±x，
∴雙曲線(xiàn)為等軸雙曲線(xiàn)，且e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$，
∵雙曲線(xiàn)的一個(gè)頂點(diǎn)為（2，0），c²=a²+b²，
∴a=b=2，
∴雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．
故答案為：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程與雙曲線(xiàn)方程的關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．