Question

9．橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的經(jīng)過中心的弦稱為橢圓的一條直徑，平行于該直徑的所有弦的中點的軌跡為一條線段，稱為該直徑的共軛直徑，已知橢圓的方程為$\frac{x^2}{4}$+y²=1．
（1）若一條直徑的斜率為$\frac{1}{3}$，求該直徑的共軛直徑所在的直線方程；
（2）若橢圓的兩條共軛直徑為AB和CD，它們的斜率分別為k₁，k₂，證明：四邊形ACBD的面積為定值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)斜率為$\frac{1}{3}$的與直徑平行的弦的端點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），該弦中點為（x，y），利用平方差法即可求出該直徑的共軛直徑所在的直線方程．
（2）橢圓的兩條共軛直徑為AB和CD，它們的斜率分別為k₁，k₂，設(shè)與AB平行的弦的端點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），表示出斜率，點的坐標代入橢圓方程，利用平方差法求出斜率關(guān)系，然后求出A，B，C，D坐標，設(shè)點C到直線AB的距離為d，求出距離的表達式，即可求解四邊形ACBD的面積是否是定值．

解答 解：（1）設(shè)斜率為$\frac{1}{3}$的與直徑平行的弦的端點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
該弦中點為（x，y），則有$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$，
相減得：$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_2}+{x_2}）}}{4}+（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）=0$，
由于$x=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，$y=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$，且$\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}=\frac{1}{3}$，所以得：3x+4y=0，
故該直徑的共軛直徑所在的直線方程為3x+4y=0．
（2）橢圓的兩條共軛直徑為AB和CD，它們的斜率分別為k₁，k₂，
四邊形ACBD顯然為平行四邊形，
設(shè)與AB平行的弦的端點坐標分別為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
則${k_1}=\frac{{{y_1}-{y_2}}}{{{x_1}-{x_2}}}$，${k_2}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{{{x_1}+{x_2}}}$，而$\frac{x_1^2}{4}+y_1^2=1$，$\frac{x_2^2}{4}+y_2^2=1$，$\frac{{（{x_1}-{x_2}）（{x_2}+{x_2}）}}{4}+（{y_1}-{y_2}）（{y_1}+{y_2}）=0$，
故${k_1}{k_2}=\frac{y_1^2-y_2^2}{x_1^2-x_2^2}=-\frac{1}{4}$，
由$\left\{\begin{array}{l}y={k_1}x\\ \frac{x^2}{4}+{y^2}=1\end{array}\right.$得A，B的坐標分別為$（\frac{2}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，\frac{{2{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$，$（-\frac{2}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}，-\frac{{2{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}）$
故$|{AB}|=\frac{4}{{\sqrt{1+4k_1^2}}}\sqrt{1+k_1^2}$，
同理C，D的坐標分別為$（\frac{2}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，\frac{{2{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$，$（-\frac{2}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}，-\frac{{2{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}）$
設(shè)點C到直線AB的距離為d，四邊形ACBD的面積為S，
所以，$d=\frac{{|{\frac{{2{k_1}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}-\frac{{2{k_2}}}{{\sqrt{1+4k_2^2}}}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}}}=\frac{{2|{{k_1}-{k_2}}|}}{{\sqrt{1+k_1^2}\sqrt{1+4k_2^2}}}$，
則$S=d|AB|=\frac{2|{k}_{1}-{k}_{2}|}{\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+4{{k}_{2}}^{2}}}×\frac{4}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}}•\sqrt{1+{{k}_{1}}^{2}}$
=$\frac{8|{k}_{1}-{k}_{2}|}{\sqrt{1+4{{k}_{1}}^{2}}\sqrt{1+4{{k}_{2}}^{2}}}$
=8$\sqrt{\frac{{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}-2{k}_{1}{k}_{2}}{1+4（{{k}_{1}}^{2}+{{k}_{2}}^{2}）+16{{k}_{1}}^{2}{{k}_{2}}^{2}}}$
=4．
為定值．

點評 本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，平方差法的應(yīng)用，點到直線的距離公式距離公式的應(yīng)用，考查分析問題解決問題的能力，計算能力．