（理科）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
（Ⅲ）證明：數(shù)學(xué)公式．

解：（Ⅰ）由已知得，由f'（x）＞0，得，，x＞1．
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，在（0，1）為增函數(shù)．…（4分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)x=1時，f（x）max=-1+1=0．
對任意x＞0，有f（x）≤0，即lnx-x+1≤0． 即lnx≤x-1．…（8分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，，當(dāng)x≥2時，則，
∴，∴=
又，
∴
故不等式的左邊小于，故要證的不等式成立．…（14分）
分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)f'（x）＞0求得x的范圍，即為函數(shù)的增區(qū)間，同理，由導(dǎo)數(shù)f'（x）＜0求得x的范圍，即為函數(shù)的減區(qū)間．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：當(dāng)x=1時，f（x）max=-1+1=0．故對任意x＞0，有f（x）≤0，由此化簡可得要證的不等式．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)x≥2時，則，，故不等式的左邊小于，再由，可得
，從而證得不等式成立．
點評：本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，用放縮法證明不等式，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，其中，用放縮法證明不等式，是解題的難點．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
（Ⅲ）證明：
ln22
22
+
ln32
32
+…+
lnn2
n2
＜
2n2-n-1
2(n+1)
(n∈N+，n≥2)．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為{x|x≠0}，值域為R且同時滿足下列條件：
（1）對于任意非零實數(shù)x1，x2，都有f（x1x2）=f（x1）+f（x2）；
（2）對于任意正數(shù)x1，x2，且x1≠x2，都有
f(x1)-f(x2) x1-x2
＞0．
出符合上述條件的一個函數(shù)f（x）
=log2|x|（答案不唯一）
=log2|x|（答案不唯一）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù) M＞0，使|f(x)|≤M|x|對一切實數(shù) x均成立，則f（x）為β函數(shù)．現(xiàn)給出如下4個函數(shù)：（1）f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=
2
（sinx+cosx）；f（x）=
x
x2+x+1
．其中是β函數(shù)的序號是
（1）（4）
（1）（4）
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：填空題

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）的定義域為R，若存在常數(shù) M＞0，使|f(x)|≤M|x|對一切實數(shù) x均成立，則f（x）為β函數(shù)．現(xiàn)給出如下4個函數(shù)：（1）f（x）=0；f（x）=x2；f（x）=
2
（sinx+cosx）；f（x）=
x
x2+x+1
．其中是β函數(shù)的序號是______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年湖北省部分重點中學(xué)高三（上）起點數(shù)學(xué)試卷（文理合卷）（解析版） 題型：解答題

（理科）設(shè)函數(shù)f（x）=lnx-x+1，
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求證：lnx≤x-1；
（Ⅲ）證明：．

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