Question

【題目】已知函數(shù) ．
（1）求f（x）在（1，0）處的切線方程；
（2）求證： ；
（3）若lng（x）≤ax2對(duì)任意x∈R恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）解： f（x）的導(dǎo)數(shù)為f′（x）= ﹣ = ，

可得f（x）在（1，0）處的切線斜率為0，

所以f（x）在（1，0）處的切線方程為y=0；

（2）證明：設(shè) ，

由G（﹣x）=G（x），

則G（x）為偶函數(shù)，

僅考慮x≥0時(shí)的情形： ，

設(shè) ，則 ，

即G1（x）為單調(diào)遞增函數(shù)，

G1（x）≥G1（0）=0，即G'（x）≥0，所以G（x）單調(diào)遞增，

所以G（x）≥G（0）=0，

又由于G（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈R時(shí)，G（x）≥0，

即 ．

（3）由f（x）=lnx+ ﹣1的導(dǎo)數(shù)f′（x）= ﹣ = ，

當(dāng)x＞1時(shí)，f（x）遞增；當(dāng)0＜x＜1時(shí)，f（x）遞減，

可得f（x）的極小值且為最小值f（1）=0，

即有l(wèi)nx+ ﹣1≥0，

由（2）可知 ，

又 ，

從而 對(duì)任意x∈R恒成立，

整理得 ，從而 ，即 ．

下面證明 ，由于不等式左右兩邊都是偶函數(shù)，

只需考慮x≥0情況，

只需證明 ，令 ，

則H（0）=0，且 ，

令 ，

則h（0）=0，且 ，

因此當(dāng)x≥0時(shí)，h（x）≤0，即H'（x）≤0，H（x）單調(diào)遞減，

從而當(dāng)x≥0時(shí)，H（x）≤0，

從而證明了當(dāng)x∈R時(shí)， ，

所以參數(shù)a的最小值為 ．

【解析】】1、由題意可得利用f（x）的導(dǎo)數(shù)求出切點(diǎn)處的斜率，進(jìn)而可求切線的方程。
2、根據(jù)題意可設(shè) G ( x ) = lng(x) -1,利用偶函數(shù)的定義可得 G（x）為偶函數(shù)，再根據(jù)求導(dǎo)得到G（x）是x≥0的單調(diào)遞增函數(shù)，故有G（x）≥G（0）=0，由于G（x）是偶函數(shù)，所以當(dāng)x∈R時(shí)，G（x）≥0，即得結(jié)論。
3、根據(jù)題意利用對(duì)f ( x )求導(dǎo)，可得到f（x）的極小值且為最小值f（1）=0，即有l(wèi)nx+ ﹣1≥0，根據(jù)（2）的結(jié)論利用基本不等式可推導(dǎo)出a ≥ ，故參數(shù)a的最小值為 。