Question

【題目】設函數(shù) ，若對任意的x∈R，f（x）＞x恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）
A.（﹣2，e）
B.（﹣∞，e）
C.（1，+∞）
D.（﹣∞，1）

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設 ，

依題意可知g（x）＞0恒成立，

⑴當x＜0時， ，

∴a＞﹣2；

⑵當x≥0時，f′（x）=ex﹣a，當a∈（﹣2，1]時，f′（x）≥0，f（x）單調遞增，

所以f（x）min=f（0）=1＞0，滿足題意；

當a＞1時，令f′（x）=0，得x=lna，

當x∈[0，lna）時，f′（x）＜0，f（x）單調遞減，

當x∈（lna，+∞）時，f′（x）＞0，f（x）單調遞增，

所以當x=lna時，f（x）取得極小值，且為最小值f（lna）=a﹣alna，

根據(jù)題意，a﹣alna＞0，所以1﹣lna＞0，lna＜1，a＜e，

∴a∈（1，e）．

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是（﹣2，e）．

故答案為：A．

由題意可得設 g ( x ) = f ( x ) x，對分段函數(shù)進行討論，當x＜0時， g ( x )=a+()+(x)，根據(jù)基本不等式可得 g ( x )≥ a + 2 > 0， 即得a＞﹣2。當x≥0時，求導可得f′（x）≥0，f（x）單調遞增，即得f（x）min=f（0）=1＞0。利用導數(shù)求得函數(shù)增減性和最小值，根據(jù)題意，a﹣alna＞0解得1<a＜e,綜上所述實數(shù)a的取值范圍是（﹣2，e）。