Question

14．已知橢圓$\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1$，直線l：4x-5y+40=0．橢圓上是否存在一點，它到直線l的距離最��？最小距離是多少？

Answer 1

分析 設(shè)出平行線方程，利用直線與橢圓相切，求出切線方程，然后求解平行線距離即可．

解答 解：設(shè)直線m：4x-5y+λ=0平行于直線l
由方程組：$\left\{\begin{array}{l}\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{9}=1\\ 4x-5y+λ=0\end{array}\right.$
消去y得：25x²+8kx+k²-225=0
由△=0可得：64k²-4×25（k²-225）=0
解得：k₁=25或k₂=-25
取k=25時距離最近，$d=\frac{|40-25|}{{\sqrt{{4^2}+{5^2}}}}=\frac{15}{41}\sqrt{41}$．

點評 本題考查橢圓與直線的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查橢圓與直線相切，函數(shù)與方程的思想的應(yīng)用，是中檔題．