Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x3+bx2+cx+d的圖象過點(diǎn)（0，3），且在（-∞，-1）和（3，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，3）上為減函數(shù)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在R上的極值．

Answer 1

分析：（1）函數(shù)f（x）在（-∞，-1）和（3，+∞）上為增函數(shù)，在（-1，3）上為減函數(shù)，說明x=-1，x=3是f'（x）=0的兩個(gè)根，求導(dǎo)后解方程即可；
（2）利用導(dǎo)數(shù)求極值，先求函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，令導(dǎo)函數(shù)等于0，解出x的值，為函數(shù)的極值點(diǎn)，由已知可得x=-1是f（x）的極大值點(diǎn)，x=3是f（x）的極小值點(diǎn)，然后把極值點(diǎn)代入原函數(shù)，求出函數(shù)值即可．

解答：解：（1）∵f（x）的圖象過點(diǎn)（0，3），
∴f（0）=d=3
∴f(x)=

1

3

x3+bx2+cx+3，
∴f'（x）=x²+2bx+c
又由已知得x=-1，x=3是f'（x）=0的兩個(gè)根，
∴

-1+3=-2b -1×3=c

∴

b=-1 c=-3

故f(x)=

1

3

x3-x2-3x+3…（8分）
（2）由已知可得x=-1是f（x）的極大值點(diǎn)，x=3是f（x）的極小值點(diǎn)
∴f（x）_極大值=f(-1)=

14

3

f（x）_極小值=f（3）=-6…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了應(yīng)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值、導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，極值的意義，解題時(shí)要透徹理解函數(shù)與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系，熟練運(yùn)用消元化簡的技巧提高解題效率