Question

7．設(shè)a，b∈R．若直線l：ax+y-7=0在矩陣A=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}]$對(duì)應(yīng)的變換作用下，得到的直線為l′：9x+y-91=0．求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析 方法一：任取兩點(diǎn)，根據(jù)矩陣坐標(biāo)變換，求得A′，B′，代入直線的直線為l′即可求得a和b的值；
方法二：設(shè)P（x，y），利用矩陣坐標(biāo)變換，求得Q點(diǎn)坐標(biāo)，代入直線為l′，由ax+y-7=0，則$\frac{26}{a}$=$\frac{1}$=$\frac{-91}{-7}$，即可求得a和b的值．

解答 解：方法一：在直線l：ax+y-7=0取A（0，7），B（1，7-a），
由$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}]$$[\begin{array}{l}{0}\\{7}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{0}\\{7b}\end{array}]$，則$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}]$$[\begin{array}{l}{1}\\{7-a}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{3}\\{b（7-a）-1}\end{array}]$，
則A（0，7），B（1，7-a）在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下A′（0，7b），B′（3，b（7-a）-1），
由題意可知：A′，B′在直線9x+y-91=0上，
$\left\{\begin{array}{l}{7b-91=0}\\{27+b（7-a）-1-91=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=13}\end{array}\right.$，
實(shí)數(shù)a，b的值2，13．
方法二：設(shè)直線l上任意一點(diǎn)P（x，y），點(diǎn)P在矩陣A對(duì)應(yīng)的變換作用下得到Q（x′，y′），
則$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{-1}&\end{array}]$$[\begin{array}{l}{x}\\{y}\end{array}]$=$[\begin{array}{l}{x′}\\{y′}\end{array}]$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{x′=3x}\\{y′=-x+by}\end{array}\right.$，
由Q（x′，y′），在直線l′：9x+y-91=0．即27x+（-x+by）-91=0，
即26x+by-91=0，
P在ax+y-7=0，則ax+y-7=0，
∴$\frac{26}{a}$=$\frac{1}$=$\frac{-91}{-7}$，
解得：a=2，b=13．
實(shí)數(shù)a，b的值2，13．

點(diǎn)評(píng) 本題考查矩陣的坐標(biāo)變換，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．