Question

16．正四面體ABCD中，E、F分別為邊AB、BD的中點(diǎn)，則異面直線AF、CE所成角的余弦值為$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 畫出立體圖形，根據(jù)中點(diǎn)找平行線，把所求的異面直線角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角來計(jì)算．

解答 解：如圖，連接CF，取BF的中點(diǎn)M，連接CM，EM，
則ME∥AF，故∠CEM即為所求的異面直線角．
設(shè)這個(gè)正四面體的棱長為2，
在△ABD中，AF=$\sqrt{3}$=CE=CF，EM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，CM=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
∴cos∠CEM=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{13}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{6}$．
故答案為$\frac{1}{6}$．

點(diǎn)評 本題考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系及學(xué)生的空間想象能力、求異面直線角的能力．在立體幾何中找平行線是解決問題的一個(gè)重要技巧，這個(gè)技巧就是通過三角形的中位線找平行線，如果試題的已知中涉及到多個(gè)中點(diǎn)，則找中點(diǎn)是出現(xiàn)平行線的關(guān)鍵技巧．