Question

已知函數f（x）對于任意實數x，y，總有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x＜0時f（x）＞0，f（1）=-2
（1）求f（-1）；
（2）求證：f（x）在R上是減函數；
（3）求f（x）在[-4，4]上最大值和最小值．

Answer 1

考點：函數的最值及其幾何意義,抽象函數及其應用

專題：綜合題,函數的性質及應用

分析：（1）可在恒等式中令x=y=0，即可解出f（0）=0，由奇函數的定義證明出f（-x）=-f（x），問題迎刃而解；
（2）由題設條件對任意x₁、x₂在所給區(qū)間內比較f（x₂）-f（x₁）與0的大小即可得出f（x）在R上是減函數；
（3）根據單調性得出函數的最值即可．

解答： （1）解：令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），∴f（0）=0．
再令y=-x，得f（0）=f（x）+f（-x）=0．∴f（-x）=-f（x）．
∴f（x）為奇函數，
∴f（-1）=-f（1）=2；
（2）證明：任取x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0．
∴由已知得f（x₂-x₁）＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁-x₂）=-f（x₂-x₁）＞0．
∴f（x₁）＞f（x₂），∴f（x）在R上是減函數．
（3）解：f（x）在[-4，4]上單調遞減，
∵f（4）=4f（1）=-8，f（-4）=8
∴當x∈[-4，4]時，f（x）_max=8，f（x）_min=-8．

點評：本題考點是抽象函數及其應用，考查用賦值法求函數值證明函數的奇偶性，以及靈活利用所給的恒等式證明函數的單調性，此類題要求答題者有較高的數學思辨能力，能從所給的條件中組織出證明問題的組合來．