Question

設(shè)a為實(shí)數(shù), 函數(shù)f（x）＝x³－x²－x＋a．

（1）求f（x）的極值;

（2）若曲線y＝f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn), 求a的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）f（x）的極大值是f（）＝,極小值是f（1）＝a－1．

（2）當(dāng)時(shí)，曲線y＝f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運(yùn)用。

（1）因?yàn)閍為實(shí)數(shù), 函數(shù)f（x）＝x³－x²－x＋a．求解導(dǎo)數(shù)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判定單調(diào)性得到

f（x）的極值;

（2）因?yàn)榍�線y＝f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn), 由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)有f（x）>0, x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f（x）<0．

所以曲線y＝f（x）與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)，結(jié)合導(dǎo)數(shù)的思想判定得到。

（1）＝3x²－2x－1．若＝0,則x＝－或x＝1      ………… 2分

當(dāng)x變化時(shí)，、f（x）的變化情況如下表:

				1
	＋	0	－	0	＋
f（x）		極大值		極小值

 

 

 

 

 

                                                          …………4分

  所以f（x）的極大值是f（）＝,極小值是f（1）＝a－1．………… 6分

（2）函數(shù)f（x）＝x³－x²－x＋a＝（x－1）²（x＋1）＋a－1．

由此可知x取足夠大的正數(shù)時(shí)有f（x）>0, x取足夠小的負(fù)數(shù)時(shí)有f（x）<0．

所以曲線y＝f（x）與x軸至少有一個(gè)交點(diǎn)．                   …………8分

結(jié)合f（x）的單調(diào)性可知,

當(dāng)f（x）的極大值<0,即a時(shí)，它的極小值也小于0．

因此曲線y＝f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),它在（1,＋）上．

當(dāng)f（x）的極小值a－1>0,即a時(shí)，它的極大值也大于0．

因此曲線y＝f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn),它在（）上．

所以當(dāng)時(shí)，曲線y＝f（x）與x軸僅有一個(gè)交點(diǎn)．…… 12分