【題目】一個袋中有若干個大小相同的黑球、白球和紅球.已知從袋中任意摸出1個球,得到黑球的概率是;從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球的概率是 .
(Ⅰ)若袋中共有10個球,
(i)求白球的個數(shù);
(ii)從袋中任意摸出3個球,記得到白球的個數(shù)為ξ,求隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ.
(Ⅱ)求證:從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于 . 并指出袋中哪種顏色的球個數(shù)最少.
【答案】解:(Ⅰ)(i)記“從袋中任意摸出2個球,至少得到1個白球”為事件A,
設袋中白球個數(shù)為x,則P(A)=1﹣=,
解得x=5,∴白球個數(shù)是5個.
(ii)隨機變量ξ的取值為0,1,2,3,
P(ξ=0)===,
P(ξ=1)===,
P(ξ=2)===
P(ξ=3)===,
∴ξ的分布列為:
ξ | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
Eξ=x0+x2+x3=.
證明:(Ⅱ)設袋中有n個球,其中y個黑球,
由題意,得y=n,
∴2y<n,2y≤n﹣1,
∴,
記“從袋中任意取出兩個球,至少有1個黑球”為事件B,
則P(B)=,
∴白球的個數(shù)比黑球多,白球個數(shù)多于n,黑球個數(shù)少于n,
故袋中紅球個數(shù)最少.
【解析】(Ⅰ)設袋中白球個數(shù)為x,由對立事件概率計算公式得:1﹣= , 由此能求出白球個數(shù).
(ii)隨機變量ξ的取值為0,1,2,3,分別求出相應的概率,由此能求出隨機變量ξ的數(shù)學期望Eξ
(Ⅱ)設袋中有n個球,其中y個黑球,由題意,得y=n,從而2y<n,2y≤n﹣1,進而 , 由此能證明從袋中任意摸出2個球,至少得到1個黑球的概率不大于 . 并得到袋中哪種顏色的球個數(shù)最少。
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,PB與底面所成的角為45°,底面ABCD為直角梯形,∠ABC=∠BAD=90°,PA=BC=AD=1.問:在棱PD上是否存在一點E,使得CE∥平面PAB?若存在,求出E點的位置;若不存在,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖所示,將一矩形花壇ABCD擴建成一個更大的矩形花壇AMPN,要求B點在AM上,D點在AN上,且對角線MN過點C,已知AB=2米,AD=1米.
(1)要使矩形AMPN的面積大于9平方米,則DN的長應在什么范圍內?
(2)當DN的長度為多少時,矩形花壇AMPN的面積最?并求出最小值.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知圓C:(x-1)2+(y-2)2=2,過點P(2,-1)作圓C的切線,切點為A,B.
(1)求直線PA,PB的方程;
(2)求過P點的圓C的切線長.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】設 , 是兩個非零向量,則下列哪個描述是正確的( 。
A.若|+|=||﹣||,則⊥
B.若⊥ , 則|+|=||﹣||
C.若|+|=||﹣||,則存在實數(shù)λ使得=
D.若存在實數(shù)λ使得= , 則|+|=||﹣||
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】以直角坐標系中的原點O為極點,x軸正半軸為極軸的極坐標系中,已知曲線的極坐標方程為ρ=.
(1)將曲線的極坐標方程化為直角坐標方程;
(2)過極點O作直線l交曲線于點P,Q,若|OP|=3|OQ|,求直線l的極坐標方程.
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知曲線C的極坐標方程是ρ=1,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)).
(1)寫出直線l與曲線C的直角坐標方程;
(2)設曲線C經(jīng)過伸縮變換得到曲線C′,設曲線C′上任一點為M(x,y),求x+2y的最小值.
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