【題目】已知△ABC內(nèi)角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且.
(Ⅰ)求A;
(Ⅱ)若,求△ABC面積的最大值.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)利用正弦定理,三角函數(shù)恒等變換,可得 ,結(jié)合范圍,可求的值.
(Ⅱ)方法1:由余弦定理,基本不等式可得,利用三角形的面積公式即可求解;方法2:由正弦定理可得,,并將其代入可得,然后再化簡,根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可求得面積的最大值.
解:(I)因為,
由正弦定理可得:,
所以
所以,
即 ,
,所以,
可得:
,所以,
所以,可得:
(II)方法1:由余弦定理得:,
得, 所以
當且僅當時取等號,
所以△ABC面積的最大值為
方法2:因為,
所以,,
所以,
所以,
當且僅當,即,當時取等號.
所以△ABC面積的最大值為.
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【題目】為響應國家“節(jié)能減排,開發(fā)清潔能源”的號召,小華制作了一個太陽灶,如圖所示.集光板由拋物面(拋物線繞對稱軸旋轉(zhuǎn)得到)形的反光鏡構(gòu)成,已知鏡口圓的直徑為,鏡深,為達到最佳吸收太陽光的效果,容器灶圈應距離集光板頂點( )
A.0.5米B.1米C.1.5米D.2米
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【題目】某地區(qū)工會利用“健步行” 開展健步走積分獎勵活動.會員每天走5 千步可獲積分30分(不足5千步不積分), 每多走2千步再積20分(不足2千步不積分).為了解會員的健步走情況,工會在某天從系統(tǒng)中隨機抽取了 1000名會員,統(tǒng)計了當天他們的步數(shù),并將樣本數(shù)據(jù)分為,九組,整理得到如圖頻率分布直方圖:
(1)求當天這1000名會員中步數(shù)少于11千步的人數(shù);
(2)從當天步數(shù)在的會員中按分層抽樣的方式抽取6人,再從這6人中隨機抽取2人,求這2人積分之和不少于200分的概率;
(3)寫出該組數(shù)據(jù)的中位數(shù)(只寫結(jié)果).
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【題目】甲、乙兩人2013-2017這五年的年度體檢的血壓值的折線圖如圖所示.
(1)根據(jù)散點圖,直接判斷甲、乙這五年年度體檢的血壓值誰的波動更大,并求波動更大者的方差;
(2)根據(jù)乙這五年年度體檢血壓值的數(shù)據(jù),求年度體檢血壓值關于年份的線性回歸方程,并據(jù)此估計乙在2018年年度體檢的血壓值.
(附:,)
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【題目】已知函數(shù).
(1)當時,求曲線在點處的切線方程;
(2)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(3)若對任意的,都有成立,求的取值范圍.
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【題目】如圖,游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑:一種是從A處沿直線步行到C處;另一種是先從A處沿索道乘纜車到B處,然后從B處沿直線步行到C處,現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山,甲沿AC勻速步行,速度為50 m·min-1.在甲出發(fā)2 min后,乙從A處乘纜車到B處,在B處停留1 min后,再從B處勻速步行到C處假設纜車的速度為130 m·min-1,山路AC長為1260 m,經(jīng)測量,.
(1)乙出發(fā)多長時間后,乙在纜車上與甲的距離最短?
(2)為使甲、乙在C處互相等待的時間不超過3 min,乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)?
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【題目】從7名男生和5名女生中選出5人,分別求符合下列條件的選法數(shù).
(1),必須被選出;
(2)至少有2名女生被選出;
(3)讓選出的5人分別擔任體育委員、文娛委員等5種不同職務,但體育委員由男生擔任,文娛委員由女生擔任.
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【題目】BMI指數(shù)(身體質(zhì)量指數(shù),英文為Body Mass Index,簡稱BMI)是衡量人體胖瘦程度的一個標準,BMI=體重(kg)/身高(m)的平方. 根據(jù)中國肥胖問題工作組標準,當BMI時為肥胖. 某地區(qū)隨機調(diào)查了1200名35歲以上成人的身體健康狀況,其中有200名高血壓患者,得到被調(diào)查者的頻率分布直方圖如圖:
(1)求被調(diào)查者中肥胖人群的BMI 平均值;
(2)根據(jù)頻率分布直方圖,完成下面的列聯(lián)表,并判斷能有多大(百分數(shù))的把握認為 35 歲以上成人高血壓與肥胖有關?
肥胖 | 不肥胖 | 總計 | |
高血壓 | |||
非高血壓 | |||
總計 |
參考公式:,其中.
參考數(shù)據(jù):
0.25 | 0.10 | 0.050 | 0.010 | 0.001 | |
1.323 | 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
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