Question

已知|

a

|=4，|

b

|=3，(2

a

-3

b

)(2

a

+

b

)=61，
（1）求

a

與

b

的夾角θ；
（2）求|

a

+

b

|；
（3）若

AB

=

a

，

BC

=

b

，求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)兩個(gè)向量的數(shù)量積的值，把這兩個(gè)向量展開(kāi)寫(xiě)出有關(guān)向量的模長(zhǎng)和數(shù)量積的表示式，得到兩個(gè)向量的數(shù)量積，代入求夾角的公式得到夾角的余弦值，求出夾角．
（2）利用模長(zhǎng)公式做出求模長(zhǎng)，這是一個(gè)公式的應(yīng)用．
（3）做出兩個(gè)向量的夾角，做出三角形的內(nèi)角，用正弦定理寫(xiě)出三角形的面積的表示形式，代入模長(zhǎng)和夾角得到結(jié)果．

解答：解：（1）∵(2

a

-3

b

)(2

a

+

b

)=61，∴4|

a

|²-4

a

•

b

-3|

b

|²=61，
又|

a

|=4，|

b

|=3，∴64-4

a

•

b

-27=61，∴

a

•

b

=-6，
∴cosθ=

a•b

|a||b|

=

-6

4×3

=-

1

2

又0≤θ≤π，
∴θ=

2π

3

（2）|a+b|=

(a+b)2

=

|a|2+2a•b+|b|2

=

13

（3）∵

AB

與

BC

的夾角θ=

2π

3

，
∴∠ABC=π-

2π

3

=

π

3

又|

AB

|=|a|=4，|

BC

|=|b|=3
∴S△ABC=

1

2

|

AB

||

BC

|sin∠ABC=

1

2

×4×3×

3

2

=3

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查向量的夾角模長(zhǎng)和正弦定理的應(yīng)用，本題解題的關(guān)鍵是對(duì)于所給的表示式的整理，得到要用的數(shù)量積．