Question

已知傾斜角為60°的直線L經(jīng)過(guò)拋物線y²=4x的焦點(diǎn)F，且與拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，其中O坐標(biāo)原點(diǎn)．
（1）求三角形ABO的重心坐標(biāo)；
（2）求三角形ABO的面積．

Answer 1

分析：（1）直線L的方程為y=

3

(x-1)代入y²=4x得：3x²-10x+3=0，解出其A、B兩點(diǎn)橫坐標(biāo)的和與積，算出兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和，用重心坐標(biāo)公式求出三角形ABO的重心坐標(biāo)；
（2）由拋物線的性質(zhì)求出弦長(zhǎng)及點(diǎn)O到直線AB的距離，求出面積．

解答：解：（1）由題意得：直線L的方程為y=

3

(x-1)
代入y²=4x得：3x²-10x+3=0（3分）
設(shè)點(diǎn)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）則：x1+x2=

10

3

，x₁x₂=（15分）
從而y1+y2=

3

(x1+x2-2)=

4 3

3

（7分）
∴△ABO的重心坐標(biāo)x=

x1+x2+0

3

=

10

9

y=

y1+y2+0

3

=

4 3

9

故三角形ABO的重心坐標(biāo)為(

10

9

，

4 3

9

)（8分）
（2）由（1）及拋物線的定義得：弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p=

10

3

+2=

16

3

又點(diǎn)O到直線AB的距離d=

|- 3 |

3+1

=

3

2

（12分）
所以三角形OAB的面積為S=

1

2

|AB|•d=

4 3

3

．（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的關(guān)系，解答本題關(guān)鍵是掌握三角形的重心坐標(biāo)公式以及直線與圓錐曲線相交時(shí)兩交點(diǎn)的坐標(biāo)表示，弦長(zhǎng)公式與點(diǎn)到直線距離公式的熟練使用也很重要．