Question

設(shè)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，若函數(shù)f（x）=x+g（x） 在區(qū)間[0，1]上的值域?yàn)閇-2，5]，則f（x） 在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)開_______．

Answer 1

[-2，7]
分析：先根據(jù)g（x） 是定義在R 上，以1為周期的函數(shù)，令x+1=t進(jìn)而可求函數(shù)在[1，2]時(shí)的值域，再令x+2=t可求函數(shù)在[2，3]時(shí)的值域，最后求出它們的并集即得（x） 在區(qū)間[0，3]上的值域．
解答：g（x）為R上周期為1的函數(shù)，則g（x）=g（x+1）
函數(shù)f（x）=x+g（x）在區(qū)間[0，1]【正好是一個(gè)周期區(qū)間長度】的值域是[-2，5]
令x+1=t，當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+1∈[1，2]
此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+1）+g（x+1）=（x+1）+g（x）
=[x+g（x）]+1
所以，在t∈[1，2]時(shí)，f（t）∈[-1，6]…（1）
同理，令x+2=t，在當(dāng)x∈[0，1]時(shí)，t=x+2∈[2，3]
此時(shí)，f（t）=t+g（t）=（x+2）+g（x+2）=（x+2）+g（x）
=[x+g（x）]+2
所以，當(dāng)t∈[2，3]時(shí)，f（t）∈[0，7]…（2）
由已知條件及（1）（2）得到，f（x）在區(qū)間[0，3]上的值域?yàn)閇-2，7]
故答案為：[-2，7]．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)的值域、函數(shù)的周期性．考查函數(shù)的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．