Question

11．已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點為F，若過點F且斜率為B的直線與拋物線相交于M、N兩點，且|MN|=8．
（1）求拋物線C的方程；
（2）設直線l為拋物線C的切線，且l∥MN，點P為直線l上的任意一點，求$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值．

Answer 1

分析 （1）由題意可知：求得MN的方程，代入拋物線方程，利用韋達定理及焦點弦公式，即可求得p的值，求得拋物線方程；
（2）設直線l的方程，代入拋物線方程，由△=0，解得b的值，根據向量數量積的坐標運算及二次函數的性質，即可求得$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值．

解答 解：（1）∵C：y²=2px（p＞0）的焦點坐標為$F（\frac{p}{2}，0）$，直線MN的方程為$y=x-\frac{p}{2}$，設M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂）．
由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=2px\\ y=x-\frac{p}{2}\end{array}\right.$，可得${x^2}-3px+\frac{p^2}{4}=0$，
由于x₁+x₂=3p、${x_1}{x_2}=\frac{p^2}{4}$，
所以|MN|=x₁+x₂+p=4p=8，解得p=2．
所以，拋物線的方程為y²=4x．
（2）設直線l方程為y=x+b，由$\left\{\begin{array}{l}{y^2}=4x\\ y=x+b\end{array}\right.$，可得，x²+（2b-4）x+b²=0.$\overrightarrow{PM}$=
由于l為拋物線C的切線，所以△=（2b-4）²-4b²=0，
解得b=1，故l：y=x+1
設P（m，m+1），由（1）可知，直線MN：y=x-1，x₁+x₂=6，x₁x₂=1，
∴（y₁y₂）²=16x₁x₂，則y₁y₂=-4，y₁+y₂=4，
則$\overrightarrow{PM}$=（x₁-m，y₁-（m+1）），$\overrightarrow{PN}$=（x₂-m，y₂-（m+1）），
∴則$\overrightarrow{PM}$•$\overrightarrow{PN}$=（x₁-m）（x₂-m）+[y₁-（m+1）][y₂-（m+1）]，
=x₁x₂-m（x₁+x₂）+m²+y₁y₂-（m+1）（y₁+y₂）+（m+1）²，
=1-6m+m²-4-4（m+1）+（m+1）²，
=2（m²-4m-3）=2[（m-2）²-7]≥-14，
所以，當且僅當m=2時，即點P的坐標為（2，3）時，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值為-14．
$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值-14．

點評 本題考查拋物線的性質，直線與拋物線的位置關系，考查韋達定理，拋物線的焦點弦公式，向量的坐標運算，考查計算能力，屬于中檔題．