Question

2．在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，角A，B，C成等差數(shù)列．
（Ⅰ）求cosB的值； 
（Ⅱ）邊b²=ac，求sinAsinC的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)A、B、C成等差數(shù)列以及內(nèi)角和定理，求出B以及cosB的值；
（Ⅱ）解法一：根據(jù)正弦定理和同角的三角函數(shù)關(guān)系求出sinAsinC的值；解法二：結(jié)合題意，根據(jù)余弦定理求出△ABC是等邊三角形，即得sinAsinC的值．

解答 解：（Ⅰ）△ABC中，角A、B、C成等差數(shù)列，
∴2B=A+C，
又A+B+C=180°，
∴B=60°，cosB=$\frac{1}{2}$；
（Ⅱ）解法一：
由b²=ac，根據(jù)正弦定理得sin²B=sinAsinC，
又cosB=$\frac{1}{2}$，
∴sinAsinC=1-cos²B=$\frac{3}{4}$．
解法二：
由b²=ac及cosB=$\frac{1}{2}$，
根據(jù)余弦定理cosB=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}{-b}^{2}}{2ac}$=$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}-ac}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
解得a=c，
∴B=A=C=60°，
∴sinAsinC=$\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正弦、余弦定理的應(yīng)用問(wèn)題，也考查了等差數(shù)列的定義和內(nèi)角和定理的應(yīng)用問(wèn)題，是中檔題．