Question

在如圖所示的幾何體中，面CDEF為正方形，面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AC=

3

，AB=2BC=2，AC⊥FB． 
（Ⅰ）求證：AC⊥平面FBC；
（Ⅱ）求該幾何體的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）利用勾股定理的逆定理即可得到AC⊥CB，又AC⊥FB，利用線面垂直的判定定理即可證明；
（Ⅱ）利用分割法，即可求該幾何體的體積．

解答： （Ⅰ）證明：在△ABC中，
∵AC=

3

，AB=2，BC=1，
∴AC²+BC²=AB²．
∴AC⊥BC．
又∵AC⊥FB，BF∩CB=B，
∴AC⊥平面FBC．
（ II）解：過D作DM⊥AB于M，過C作CN⊥AB于N
于是：V=V_E-AMD+V_EDM-FCN+V_F-CNB=2V_E-AMD+V_EDM-FCN
∵AC=

3

，AB=2BC=2，
∴ED=CD=1，DM=

3

2

，
∴VE-AMD=

1

3

×SAMD×ED=

1

3

×

3

8

×1=

3

24

VEDM-FCN=SEDM×CD=

3

4

×1=

3

4

∴V=2×

3

24

+

3

4

=

3

3

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握勾股定理的逆定理、線面垂直的判定定理、等腰梯形的性質(zhì)、三棱錐的體積公式是解題的關(guān)鍵．