Question

（本小題滿(mǎn)分12分）
已知圓和直線(xiàn)，直線(xiàn)，都經(jīng)過(guò)圓C外定點(diǎn)A(1，0)．
（Ⅰ）若直線(xiàn)與圓C相切，求直線(xiàn)的方程；
（Ⅱ）若直線(xiàn)與圓C相交于P，Q兩點(diǎn)，與交于N點(diǎn)，且線(xiàn)段PQ的中點(diǎn)為M，
求證:為定值．

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）設(shè)直線(xiàn)方程為，由 得由 得
∴
為定值

試題分析：（Ⅰ）①若直線(xiàn)的斜率不存在，即直線(xiàn)是，符合題意．    1分
②若直線(xiàn)斜率存在，設(shè)直線(xiàn)為，即．
由題意知，圓心（3，4）到已知直線(xiàn)的距離等于半徑2，
即： ,解之得 ．     5分
所求直線(xiàn)方程是，．     6分
（Ⅱ）解法一：直線(xiàn)與圓相交，斜率必定存在，且不為0,
可設(shè)直線(xiàn)方程為
由 得．     8分
再由 
得．
∴    得．      12分
∴  
為定值．    14分
解法二：直線(xiàn)與圓相交，斜率必定存在，且不為0,可設(shè)直線(xiàn)方程為
由 得．     8分
又直線(xiàn)CM與垂直，
由 得．    10分
∴  
，為定值．     14分
解法三：用幾何法，如圖所示，△AMC∽△ABN，則，
可得，是定值．
點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線(xiàn)與圓相切時(shí)常用圓心到直線(xiàn)的距離等于圓的半徑，當(dāng)直線(xiàn)與圓相交時(shí)常用圓心到直線(xiàn)的距離，弦長(zhǎng)一半，圓的半徑構(gòu)成的直角三角形三邊勾股定理關(guān)系；第一問(wèn)在求直線(xiàn)方程時(shí)需注意分直線(xiàn)斜率存在與不存在兩種情況討論，過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)做圓的切線(xiàn)有2條，不要丟解