Question

已知函數(shù)在上單調(diào)遞減且滿足.
（1）求的取值范圍.
（2）設(shè)，求在上的最大值和最小值.

Answer 1

（1）；（2）當(dāng)時(shí)，在取得最小值，
在上取得最大值.
當(dāng)時(shí)， 在取得最大值，在時(shí)取得最小值.
當(dāng)時(shí)，由，得.
當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值.
當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最大值，在時(shí)取得最小值，
當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值；
當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值.

試題分析：（1）注意到 ，
其導(dǎo)函數(shù)為
根據(jù)題意得到“對(duì)于任意.有”.所以結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論.
具體情況有，， ，.
（2）注意到，，
討論，，的情況.
而在時(shí)，要結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，具體地討論①若，即；
②若，即的不同情況.
易錯(cuò)點(diǎn)在于分類討論不全面.
試題解析：
（1）由得：
則 ，
依題意需對(duì)于任意.有.
當(dāng)時(shí)，因?yàn)槎�次函�?shù)的圖像開(kāi)口向上，
而，所以需，即；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，符合條件；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，符合條件；
當(dāng)時(shí)，因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/20140824025516160654.png" style="vertical-align:middle;" />，不符合條件.
故的取值范圍為.
（2）因，，
當(dāng)時(shí)，，在取得最小值，
在上取得最大值.
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意有，在取得最大值，在時(shí)取得最小值.
當(dāng)時(shí)，由，得.
①若，即時(shí)，在上單調(diào)遞增，在時(shí)取得最小值，在時(shí)取得最大值.
②若，即時(shí)，在時(shí)取得最大值，在時(shí)取得最小值，而，.則當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值；
當(dāng)時(shí)，在時(shí)取得最小值.