Question

12．已知函數(shù)f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x（a∈R）．
（ I）若x=2為函數(shù)f（x）的極值點，求a的值．
（ II）討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)的單調(diào)性．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由f′（2）=0列式求得a值；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$，令g（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a），然后對a進(jìn)行分類討論可得函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)的單調(diào)性．

解答 解：（Ⅰ）∵f（x）=alnx+$\frac{1}{2}$x²-（a+1）x，
∴f′（x）=$\frac{a}{x}+x-（a+1）$，
又x=2為函數(shù)f（x）的極值點，
∴$f′（2）=\frac{a}{2}+2-a-1=0$，解得a=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，f′（x）=$\frac{a}{x}+x-（a+1）$=$\frac{{x}^{2}-（a+1）x+a}{x}$（0＜x＜2）．
令g（x）=x²-（a+1）x+a=（x-1）（x-a）．
當(dāng)a=1時，g（x）≥0，即f′（x）≥0，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，2）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)a≤0時，g（x）在（0，1）內(nèi)小于0，在（1，2）內(nèi)大于0，即f′（x）在（0，1）內(nèi)小于0，在（1，2）內(nèi)大于0，
∴f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞增；
當(dāng)0＜a＜1時，g（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，即f′（x）在（0，a）∪（1，2）上大于0，在（a，1）上小于0，
∴f（x）在（0，a），（1，2）上單調(diào)遞增，在（a，1）上單調(diào)遞減；
當(dāng)1＜a＜2時，g（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，即f′（x）在（0，1）∪（a，2）上大于0，在（1，a）上小于0，
∴f（x）在（0，1），（a，2）上單調(diào)遞增，在（1，a）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a≥2時，g（x）在（0，1）內(nèi)大于0，在（1，2）內(nèi)小于0，即f′（x）在（0，1）內(nèi)大于0，在（1，2）內(nèi)小于0，
∴f（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞增，在（1，2）內(nèi)單調(diào)遞減．

點評 本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是中檔題．